教學(xué)總結：初中數學(xué)常見(jiàn)的幾種數學(xué)思想
教學(xué)總結：初中數學(xué)常見(jiàn)的幾種數學(xué)思想
與數學(xué)基礎知識一樣,數學(xué)思想也是數學(xué)的重要內容之一。重視與加強中學(xué)數學(xué)思想的教學(xué),這對于抓好雙基,培養能力以及培養學(xué)生的數學(xué)素質(zhì)都具有十分重要的作用。本人結合幾年的初中數學(xué)教學(xué)實(shí)踐,認為初中數學(xué)常見(jiàn)的數學(xué)思想有以下幾種:
一.字母代數思想
用字母代替數字,是初中生最先接觸到的數學(xué)思想,也是初等代數以至整個(gè)數學(xué)最重要最基礎的數學(xué)思想。
在初中數學(xué)中,用字母代替數字,各種量、量的關(guān)系、量的變化以及量與量之間進(jìn)行推理與演算,都是以符號形式(包括數字、字母、圖形和圖表以及各種特定的符號)來(lái)表示的,即進(jìn)行著(zhù)一整套的形式化的數學(xué)語(yǔ)言。例如:用∣a︱表示某個(gè)數的絕對值,用- a表示某個(gè)數的相反數,用an表示n個(gè)a連續相乘的積,用s=40t表示路程與時(shí)間的關(guān)系,用一對有序實(shí)數對(x,y)表示某個(gè)點(diǎn)在平面直角坐標系中的位置。
初中數學(xué)教材在七(上)第三章講解用字母代替數字,也就是當學(xué)生剛從小學(xué)生轉變?yōu)槌踔猩?便開(kāi)始從原有的數字與數字的運算轉變?yōu)橛米帜复鏀底诌M(jìn)行推理與運算,這對大多數學(xué)生來(lái)說(shuō)要有一個(gè)轉變適應的過(guò)程,所以蘇科版新教材以一些豐富、貼近學(xué)生生活的情境來(lái)引導學(xué)生逐漸掌握用字母代替數的數學(xué)思想。用字母表示數是“代數”的基礎和出發(fā)點(diǎn),也是“符號感”的主要表現之一。其實(shí),日常生活中人們經(jīng)常用符號表示某種意義,例如:天氣預報圖標、交通標志、五線(xiàn)譜等,從這樣的情境出發(fā),有助于學(xué)生借助已有經(jīng)驗感受“在數學(xué)中,經(jīng)常用字母表示數”。
用字母表示數是從算術(shù)到代數的重要轉折點(diǎn),但是,它的學(xué)習是建立在算術(shù)學(xué)習基礎上的。教師應當通過(guò)具體數字運算,讓學(xué)生觀(guān)察,總結規律,形成對“用字母表示數”的必要性的認識。實(shí)際上,過(guò)去學(xué)過(guò)的運算律(交換律、結合律、分配律等)、簡(jiǎn)單幾何圖形的面積、行程問(wèn)題等知識,都能說(shuō)明用字母表示數的重要意義:普遍性、應用的廣泛性等。
總之,要學(xué)好初中數學(xué)首先必須掌握好用字母代替數的數學(xué)思想。
二.化歸轉換思想
化歸,即轉化與歸結的意思。把有待解決或未解決的問(wèn)題,通過(guò)轉化過(guò)程,歸結為所熟悉的規范性問(wèn)題或已解決的問(wèn)題中去,從而求得問(wèn)題解決的思想。
人們在研究運用數學(xué)的長(cháng)期實(shí)踐中,獲得了大量的成果,也積累了豐富的經(jīng)驗,許多問(wèn)題的解決已經(jīng)形成了固定的方法模式和約定俗成的步驟。人們把這種有規定的解決方法和程序的`問(wèn)題,叫做規范問(wèn)題,而把一個(gè)未知的或復雜的問(wèn)題轉化為規范問(wèn)題的過(guò)程稱(chēng)為問(wèn)題的化歸。
例如,對于整式方程(如一元一次方程、一元二次方程),人們已經(jīng)掌握了等式基本性質(zhì)、求根公式等理論,因此,求解整式方程的問(wèn)題是規范問(wèn)題,而把有關(guān)分式方程通過(guò)去分母轉化為整式方程的過(guò)程,就是問(wèn)題的規范化。
為了實(shí)現“化歸”,數學(xué)中常常借助于“代換”,又稱(chēng)之為轉換。代數中有恒等變換,方程、不等式的同解變換;幾何中全等變換、相似變換、等積變換。轉換是手段,揭示其中不變的東西才是目的,為了不變的目的去探索轉換的手段就構成解題的思路和技藝。例如,已知x2+y2+2x-6y+10=0,求xy。對于初中生來(lái)說(shuō)本題無(wú)法直接解出關(guān)于x,y的二元二次方程。但是如果從完全平方公式著(zhù)手,已知條件可以轉換為(x+1)2+(y-3)2=0。又因為偶次冪具有非負性,即(x+1)2≥0,(y-3)2≥0,所以(x+1)2=0,(y-3)2=0,從而得出x=-1,y=3。最終問(wèn)題得以解決。
三.分解組合思想
當面臨的數學(xué)問(wèn)題不能以統一的形式解決時(shí),可以把涉及的范圍分解為若干個(gè)分別研究問(wèn)題局部的解。然后通過(guò)組合各局部的解而得到原問(wèn)題的解,這種思想就是分解組合思想,其方法稱(chēng)為分類(lèi)討論法。
分解組合,是重要的數學(xué)思想之一。對于復雜的計算題、證明題等,運用分解組合的思想方法去處理,可以幫助學(xué)生進(jìn)行全面嚴謹的思考和分析,從而獲得合理有效的解題途徑。例如,等腰三角形兩邊長(cháng)分別是4和5,求這個(gè)等腰三角形的周長(cháng)。解決本題首先分類(lèi)討論:①若4為底,則5為腰,三邊長(cháng)分別為4,5,5,可以構成三角形,此時(shí)周長(cháng)為14;②若5為底,則4為腰,三邊長(cháng)分別為5,4,4,可以構成三角形,此時(shí)周長(cháng)為13。
四.方程函數思想
方程的思想和函數的思想是處理常量數學(xué)與變量數學(xué)的重要思想,在解決一般數學(xué)問(wèn)題中具有重大的意義。在初中數學(xué)中,方程與函數是極為重要的內容,對各類(lèi)方程和簡(jiǎn)單函數都作較為系統的學(xué)習研究。對一個(gè)較為復雜的問(wèn)題,常常只須尋找等量關(guān)系,列出一個(gè)或幾個(gè)方程(方程組)或函數關(guān)系式,就能很好地得到解決。
例如,某燈具店采購了一批某種型號的節能燈,共用去400元。在搬運過(guò)程中不慎打碎了5盞,該店把余下的燈每盞加價(jià)4元全部售出,然后用所得的錢(qián)又采購了一批這種節能燈,且進(jìn)價(jià)與上次相同,但購買(mǎi)的數量比上次多了9盞,求每盞燈的進(jìn)價(jià)。
五.數形結合思想
數形結合不僅使幾何問(wèn)題獲得了有力的代數工具,同時(shí)也使許多代數問(wèn)題具有了顯明的直觀(guān)性。數形結合是初中數學(xué)中十分重要的思想,在數學(xué)問(wèn)題的解決中具有數學(xué)獨特的策略指導與調節作用。例如,二元一次方程組的圖像解法,把數量關(guān)系問(wèn)題轉化為圖形性質(zhì)問(wèn)題;A,B兩地之間修建一條 100千米 長(cháng)的公路,C處是以C點(diǎn)為中心,方圓 50千米 的自然保護區,A在C西南方向,B在C的南偏東30度方向,問(wèn)公路AB是否會(huì )經(jīng)過(guò)自然保護區?
當然,初中數學(xué)所涉及到的數學(xué)思想不止這五種。以上只是本人對初中數學(xué)常見(jiàn)的幾種數學(xué)思想的淺見(jiàn),在今后的教學(xué)實(shí)踐中本人將更加重視與加強對學(xué)生進(jìn)行數學(xué)思想的數學(xué),提高學(xué)生的解題能力,培養學(xué)生的數學(xué)素養。
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