動(dòng)態(tài)幾何與函數問(wèn)題的總結
動(dòng)態(tài)幾何與函數問(wèn)題的總結
【前言】
在第三講中我們已經(jīng)研究了動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的一般思路，但是那時(shí)候沒(méi)有對其中夾雜的函數問(wèn)題展開(kāi)來(lái)分析。整體說(shuō)來(lái)，代幾綜合題大概有兩個(gè)側重，第一個(gè)是側重幾何方面，利用幾何圖形的性質(zhì)結合代數知識來(lái)考察。而另一個(gè)則是側重代數方面，幾何性質(zhì)只是一個(gè)引入點(diǎn)，更多的考察了考生的計算功夫。但是這兩種側重也沒(méi)有很?chē)栏竦姆忠�，很多題型都很類(lèi)似。所以相比昨天第七講的問(wèn)題，這一講將重點(diǎn)放在了對函數，方程的應用上。其中通過(guò)圖中已給幾何圖形構建函數是重點(diǎn)考察對象。不過(guò)從近年中考的趨勢上看，要求所構建的函數為很復雜的二次函數可能性略小，大多是一個(gè)較為簡(jiǎn)單的函數式，體現了中考數學(xué)的考試說(shuō)明當中減少復雜性增大靈活性的主體思想。但是這也不能放松，所以筆者也選擇了一些較有代表性的復雜計算題僅供參考。
【例1】
如圖①所示，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸正半軸與 軸負半軸上.過(guò)點(diǎn)B、C作直線(xiàn) .將直線(xiàn) 平移，平移后的直線(xiàn) 與 軸交于點(diǎn)D，與 軸交于點(diǎn)E.
(1)將直線(xiàn) 向右平移，設平移距離CD為 (t0)，直角梯形OABC被直線(xiàn) 掃過(guò)的面積(圖中陰影部份)為 ， 關(guān)于 的函數圖象如圖②所示，OM為線(xiàn)段，MN為拋物線(xiàn)的一部分，NQ為射線(xiàn)，且NQ平行于x軸，N點(diǎn)橫坐標為4，求梯形上底AB的長(cháng)及直角梯形OABC的面積.
(2)當 時(shí)，求S關(guān)于 的函數解析式.
【思路分析】本題雖然不難，但是非�？简灴忌鷮τ诤瘮祱D像的理解。很多考生看到圖二的函數圖像沒(méi)有數學(xué)感覺(jué)，反應不上來(lái)那個(gè)M點(diǎn)是何含義，于是無(wú)從下手。其實(shí)M點(diǎn)就表示當平移距離為2的時(shí)候整個(gè)陰影部分面積為8，相對的，N點(diǎn)表示移動(dòng)距離超過(guò)4之后陰影部分面積就不動(dòng)了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當D移動(dòng)過(guò)了0點(diǎn)的時(shí)候.所以根據這么幾種情況去作答就可以了。第二問(wèn)建立函數式則需要看出當 時(shí)，陰影部分面積就是整個(gè)梯形面積減去△ODE的面積，于是根據這個(gè)構造函數式即可。動(dòng)態(tài)幾何連帶函數的問(wèn)題往往需要找出圖形的移動(dòng)與函數的變化之間的對應關(guān)系，然后利用對應關(guān)系去分段求解。
【解】
(1)由圖(2)知， 點(diǎn)的坐標是(2，8)
由此判斷： ;
∵ 點(diǎn)的橫坐標是4， 是平行于 軸的射線(xiàn)，
直角梯形 的面積為： ..... (3分)
(2)當 時(shí)，
陰影部分的面積=直角梯形 的面積 的面積 (基本上實(shí)際考試中碰到這種求怪異圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補關(guān)系)
∵
.
.
【例2】
已知：在矩形 中， ， .分別以 所在直線(xiàn)為 軸和 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系. 是邊 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與 重合)，過(guò) 點(diǎn)的反比例函數 的圖象與 邊交于點(diǎn) .
(1)求證： 與 的面積相等;
(2)記 ，求當 為何值時(shí)， 有最大值，最大值為多少?
(3)請探索：是否存在這樣的點(diǎn) ，使得將 沿 對折后， 點(diǎn)恰好落在 上?若存在，求出點(diǎn) 的坐標;若不存在，請說(shuō)明理由.
【思路分析】本題看似幾何問(wèn)題，但是實(shí)際上△AOE和△FOB這兩個(gè)直角三角形的底邊和高恰好就是E,F點(diǎn)的橫坐標和縱坐標，而這個(gè)乘積恰好就是反比例函數的系數K。所以直接設點(diǎn)即可輕松證出結果。第二問(wèn)有些同學(xué)可能依然糾結這個(gè)△EOF的面積該怎么算，事實(shí)上從第一問(wèn)的結果就可以發(fā)現這個(gè)矩形中的三個(gè)RT△面積都是異常好求的。于是利用矩形面積減去三個(gè)小RT△面積即可，經(jīng)過(guò)一系列化簡(jiǎn)即可求得表達式，利用對稱(chēng)軸求出最大值。第三問(wèn)的思路就是假設這個(gè)點(diǎn)存在，看看能不能證明出來(lái)。因為是翻折問(wèn)題，翻折之后大量相等的角和邊,所以自然去利用三角形相似去求解，于是變成一道比較典型的幾何題目，做垂線(xiàn)就OK.
【解析】
(1)證明：設 ， ， 與 的面積分別為 ， ，
由題意得 ， .
， .
，即 與 的面積相等.
(2)由題意知： 兩點(diǎn)坐標分別為 ， ， (想不到這樣設點(diǎn)也可以直接用X去代入,麻煩一點(diǎn)而已)
，
.
當 時(shí)， 有最大值.
.
(3)解：設存在這樣的點(diǎn) ，將 沿 對折后， 點(diǎn)恰好落在 邊上的 點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為 .
由題意得： ， ， ，
， .
又 ，
.(將已知和所求的量放在這一對有關(guān)聯(lián)的三角形當中)
， ，
.
， ，解得 .
.
存在符合條件的點(diǎn) ，它的坐標為 .
【例3】
如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線(xiàn)DA的方向以每秒2兩個(gè)單位長(cháng)的速度運動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線(xiàn)段CB上以每秒1個(gè)單位長(cháng)的速度向點(diǎn)B運動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當點(diǎn)Q運動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運動(dòng)。設運動(dòng)的時(shí)間為t(秒)。
(1)設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關(guān)系式;
(2)當t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?
(3)是否存在時(shí)刻t，使得PQBD?若存在，求出t的值;若不存在，請說(shuō)明理由。
【思路分析】 本題是一道和一元二次方程結合較為緊密的代幾綜合題，大量時(shí)間都在計算上。第三講的時(shí)候我們已經(jīng)探討過(guò)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的思路就是看運動(dòng)過(guò)程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒(méi)有變化。對于該題來(lái)說(shuō)，當P,Q運動(dòng)時(shí)，△BPQ的高的長(cháng)度始終不變，即為CD長(cháng)，所以只需關(guān)注變化的底邊BQ即可，于是列出函數式。第二問(wèn)則要分類(lèi)討論，牢牢把握住高不變這個(gè)條件，通過(guò)勾股定理建立方程去求解。第三問(wèn)很多同學(xué)畫(huà)出圖形以后就不知如何下手，此時(shí)不要忘記這個(gè)題目中貫穿始終的不動(dòng)量高，過(guò)Q做出垂線(xiàn)以后就發(fā)現利用角度互余關(guān)系就可以證明△PEQ和△BCD是相似的，于是建立兩個(gè)直角三角形直角邊的比例關(guān)系，而這之中只有PE是未知的，于是得解。 這道題放在這里是想讓各位體會(huì )一下那個(gè)不動(dòng)量高的作用，每一小問(wèn)都和它休戚相關(guān)，利用這個(gè)不變的高區建立函數，建立方程組乃至比例關(guān)系才能拿到全分。
【解析】
解： (1)如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PMBC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。
PM=DC=12
∵QB=16-t，S= 12(16-t)=96-t
(2)由圖可知：CM=PD=2t，CQ=t。熱以B、P、Q三點(diǎn)
為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況。
�、偃鬚Q=BQ。在Rt△PMQ中， ，由PQ2=BQ2
得 ，解得t= ;
�、谌鬊P=BQ。在Rt△PMB中， 。由BP2=BQ2 得：
即 。
由于=-7040
無(wú)解，PBBQ
�、廴鬚B=PQ。由PB2=PQ2，得
整理，得 。解得 (舍)(想想看為什么要舍?函數自變量的取值范圍是多少?)
綜合上面的討論可知：當t= 秒時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。
(3)設存在時(shí)刻t，使得PQBD。如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QEADS，垂足為E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，
得 ，即 。解得t=9
所以，當t=9秒時(shí)，PQBD。
【例4】
在Rt△ABC中，C=90，AC = 3，AB = 5.點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(cháng)的速度向點(diǎn)A勻速運動(dòng)，到達點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AC返回;點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(cháng)的速度向點(diǎn)B勻速運動(dòng).伴隨著(zhù)P、Q的運動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線(xiàn)QB-BC-CP于點(diǎn)E.點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當點(diǎn)Q到達點(diǎn)B時(shí)停止運動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止.設點(diǎn)P、Q運動(dòng)的時(shí)間是t秒(t0).
(1)當t = 2時(shí)，AP = ，點(diǎn)Q到AC的距離是 ;
(2)在點(diǎn)P從C向A運動(dòng)的過(guò)程中，求△APQ的面積S與
t的函數關(guān)系式;(不必寫(xiě)出t的取值范圍)
(3)在點(diǎn)E從B向C運動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QBED能否成
為直角梯形?若能，求t的值.若不能，請說(shuō)明理由;
(4)當DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 時(shí)，請直接寫(xiě)出t的值.
【思路分析】依然是一道放在幾何圖形當中的函數題。但是本題略有不同的是動(dòng)點(diǎn)有一個(gè)折返的動(dòng)作，所以加大了思考的難度,但是這個(gè)條件基本不影響做題,不需要太專(zhuān)注于其上。首先應當注意到的是在運動(dòng)過(guò)程中DE保持垂直平分PQ這一條件，然后判斷t可能的范圍.因為給出了AC和CB的長(cháng)度,據此估計出運動(dòng)可能呈現的狀態(tài).第一問(wèn)簡(jiǎn)單不用多說(shuō),第二問(wèn)做出垂線(xiàn)利用三角形內的比例關(guān)系做出函數.第三問(wèn)尤其注意直角梯形在本題中有兩種呈現方式.DE//QB和PQ//BC都要分情況討論.最后一問(wèn)則可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量關(guān)系去求解.
解：(1)1， ;
(2)作QFAC于點(diǎn)F，如圖3， AQ = CP= t， .
由△AQF∽△ABC， ，
得 . .
，
即 .
(3)能.
�、佼擠E∥QB時(shí)，如圖4.
∵DEPQ，PQQB，四邊形QBED是直角梯形.
此時(shí)AQP=90.
由△APQ ∽△ABC，得 ，
即 . 解得 .
�、谌鐖D5，當PQ∥BC時(shí)，DEBC，四邊形QBED是直角梯形.
此時(shí)APQ =90.
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即 . 解得 .
(4) 或 .
【注：①點(diǎn)P由C向A運動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.
方法一、連接QC，作QGBC于點(diǎn)G，如圖6.
， .
由 ，得 ，解得 .
方法二、由 ，得 ，進(jìn)而可得
，得 ， . .
�、邳c(diǎn)P由A向C運動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，如圖7.
，
【例5】
如圖，在 中， ， ， ， 分別是邊 的中點(diǎn)，點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)沿 方向運動(dòng)，過(guò)點(diǎn) 作 于 ，過(guò)點(diǎn) 作 交 于
，當點(diǎn) 與點(diǎn) 重合時(shí)，點(diǎn) 停止運動(dòng).設 ， .
(1)求點(diǎn) 到 的距離 的長(cháng);
(2)求 關(guān)于 的函數關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍);
(3)是否存在點(diǎn) ，使 為等腰三角形?若存在，請求出所有滿(mǎn)足要求的 的值;若不存在，請說(shuō)明理由.
【思路分析】本題也是一道較為典型的題。第一問(wèn)其實(shí)就是重要暗示，算DH的長(cháng)度實(shí)際上就是后面PQ的長(cháng)度，在構建等腰三角形中發(fā)揮重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二問(wèn)列函數式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通過(guò)哪些量練聯(lián)系在一起.我們發(fā)現RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例關(guān)系得出結果.第三問(wèn)依然是要分類(lèi)討論,但凡看到構成特殊圖形的情況都要去討論一下.不同類(lèi)之間的解法也有所不同,需要注意一下.
解：(1) ， ， ， .
點(diǎn) 為 中點(diǎn)， .
， .
，
， .
(2) ， .
， ，
， ，
即 關(guān)于 的函數關(guān)系式為： .
(3)存在，分三種情況：
�、佼� 時(shí)，過(guò)點(diǎn) 作 于 ，則 .
， ，
.
， ，
， .
�、诋� 時(shí)， ，
.
�、郛� 時(shí)，則 為 中垂線(xiàn)上的點(diǎn)，
于是點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，
.
，
， .
綜上所述，當 為 或6或 時(shí)， 為等腰三角形.
【總結】通過(guò)以上的例題，大家心里大概都有了底。整體來(lái)說(shuō)這類(lèi)函數型動(dòng)態(tài)幾何題是偏難的，不光對幾何圖形的分析有一定要求，而且還很考驗考生的方程、函數的計算能力。解決這類(lèi)問(wèn)題需要注意這么幾個(gè)點(diǎn)：首先和純動(dòng)態(tài)幾何題一樣，始終把握在變化中不動(dòng)的量將函數的變量放在同一組關(guān)系中建立聯(lián)系,尤其是找出題中是否有可以將這些條件聯(lián)系起來(lái)的相似三角形組來(lái)構造比例關(guān)系。其次要注意特殊圖形如等腰三角形，直角梯形等的分類(lèi)討論。第三要注意函數自變量的取值范圍，合理篩選出可能的情況。最后就是在計算環(huán)節認真細心，做好每一步。
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