《分數乘法》教案
《分數乘法》教案
本單元教學(xué)分數乘法，是在理解了分數的意義，掌握了分數加、減法計算的基礎上編排的。能進(jìn)一步理解分數的意義，為教學(xué)分數除法打下基礎。教學(xué)內容以計算為主，包括分數與整數相乘、分數與分數相乘。教學(xué)要求是理解算理、掌握算法，能應用于分數連乘計算和解決實(shí)際問(wèn)題中去；在探索算法、總結法則的過(guò)程中發(fā)展數學(xué)思考的能力。下表是全單元教學(xué)內容的編排。
分數與整數相乘
用乘法求幾個(gè)相同分數的和（例1）
用乘法求整數的幾分之幾是多少（例2）
求一個(gè)數的幾分之幾是多少的實(shí)際問(wèn)題（例3） 練習八
分數乘分數
分數乘分數（例4、例5）
分數連乘（例6） 練習九
倒數
倒數的意義，求倒數的方法（例7） 練習十
整理與練習
教材在編排上有以下特點(diǎn)。
第一，以計算法則的教學(xué)為編排主線(xiàn)，把運算的意義、方法以及實(shí)際應用的教學(xué)有機結合在一起，優(yōu)化了全單元的內容結構。
乘法運算的范圍從整、小數擴大到分數，其意義、算法以及實(shí)際應用都有較大的發(fā)展。因此，分數乘法的意義、計算法則、解決實(shí)際問(wèn)題是本單元的三個(gè)重要內容。教材以計算為主線(xiàn)，在研究算法的過(guò)程中體會(huì )運算意義，通過(guò)運算概念的完善、發(fā)展，進(jìn)一步理解算法；在解決實(shí)際問(wèn)題的背景中教學(xué)計算知識，應用學(xué)到的算法解決實(shí)際問(wèn)題。意義、法則、應用三方面的有機結合，優(yōu)化了知識結構，能充分發(fā)揮教學(xué)的功能和價(jià)值。如，例1從做綢花要用多少米綢帶的實(shí)際問(wèn)題引出分數乘整數的計算問(wèn)題，把原來(lái)的乘法概念擴展到分數范圍，激活已有的知識經(jīng)驗；應用同分母分數加法的知識，體會(huì )并得出分數乘整數的計算方法，既解決了做綢花的實(shí)際問(wèn)題，又解決了新的計算課題。又如，例2為解決做綢花的實(shí)際問(wèn)題列算式101/2和102/5，聯(lián)系現實(shí)的數量關(guān)系體會(huì )這些算式的具體含義，得出求一個(gè)數的幾分之幾是多少，可以用乘法計算的結論，發(fā)展了乘法的意義。在計算兩個(gè)乘法算式時(shí)，鞏固了分數與整數相乘的算法。
第二，知識發(fā)展線(xiàn)索清晰，前后聯(lián)系緊密，各道例題的教學(xué)任務(wù)明確。下圖是本單元教材里的計算知識結構圖。
先教學(xué)整數乘分數，后教學(xué)分數乘分數，符合簡(jiǎn)單到復雜的編排原則。而且，整數乘分數還能與整數乘法建立聯(lián)系，應用整數乘法知識，為分數乘法的教學(xué)開(kāi)好頭。
整數乘分數先是求幾個(gè)相同分數的和，再是求整數的幾分之幾是多少。前者在運算意義上與整數乘法一致，算法是例1的重點(diǎn)。正由于運算意義和整數乘法一致，可以把整數乘分數轉化成同分母分數相同，體會(huì )并得出整數乘分數的計算法則。后者在運算意義上有很大的擴展，乘法不僅能求幾個(gè)相同加數連加的和，還能求一個(gè)數的幾分之幾是多少，這是例2的教學(xué)重點(diǎn)。而例2的算法，在前面已經(jīng)解決了。
分數乘分數先教學(xué)基礎知識，再培養計算技能。例4和例5要把求一個(gè)數的幾分之幾是多少的認識遷移到分數乘分數，深入理解分數乘法的意義，還要解決分數乘分數的算法，并形成統攝分數乘整數、分數乘分數的計算法則。所以，這兩道例題著(zhù)重教學(xué)基礎知識。例6教學(xué)分數連乘，鞏固計算法則的同時(shí)，培養分子、分母交叉約分的技能。
第三，編排倒數知識，為分數除法作準備。
分數除法經(jīng)常要轉化成分數乘法進(jìn)行計算，轉化需要倒數的知識。因此，本單元在分數乘法的教學(xué)基本完成以后，編排了有關(guān)倒數知識的一節教材和一個(gè)練習，為下一單元的教學(xué)提前作準備。
一、 例1著(zhù)重教學(xué)分數與整數相乘的算法。
首次教學(xué)分數乘法，教材除了從實(shí)際問(wèn)題引出，還盡量與整數乘法靠近，充分利用已有的知識、經(jīng)驗，構建新運算的意義與算法。創(chuàng )造遷移的條件，引導學(xué)生主動(dòng)寫(xiě)出分數乘法算式；營(yíng)造探索的氛圍，放手讓學(xué)生創(chuàng )新分數乘整數的方法。
例1的第（1）個(gè)問(wèn)題求3個(gè)相同分數的和。在代表1米綢帶的線(xiàn)條圖上，已經(jīng)表示出做1朵綢花用的綢帶3/10米，要求學(xué)生繼續涂色表示做3朵綢花所用的米數。通過(guò)涂色，體會(huì )實(shí)際問(wèn)題里的數學(xué)問(wèn)題是求3個(gè)3/10是多少，看到做3朵綢花用的綢帶是9/10米，激活已有的乘法概念以及同分母分數加法的知識。于是，一些學(xué)生會(huì )列加法算式3/10+3/10+3/10，另一部分學(xué)生會(huì )列乘法算式33/10或3/103。比較加法算式和乘法算式，實(shí)現原有運算概念的遷移：求幾個(gè)相同分數相加的和，用乘法算比較簡(jiǎn)便。分數乘法算式和整數乘法算式一樣，不區分被乘數和乘數，求3個(gè)3/10是多少，算式33/10和3/103都可以。讓學(xué)生研究分數乘整數的算法，把分子相加、分母不變加工成分子與整數相乘，分母不變，獲得新的計算方法。尤其是在方框里填數： 3/10+3/10+3/10=□+□+□/10=□□/10,經(jīng)歷分子相加轉化成分子與整數相乘的過(guò)程，建構了新的計算方法。
例1的第（2）個(gè)問(wèn)題求做5朵同樣的綢花一共用綢帶的米數，不再從分數加法過(guò)渡到分數乘法，直接寫(xiě)出乘法算式，并用分數乘整數的方法計算。把例1的學(xué)習成果作為例2的教學(xué)資源，進(jìn)一步體驗應用分數乘整數解決相同分數連加的問(wèn)題比較簡(jiǎn)便，鞏固運算的意義和方法。這道例題還指導了分數乘法中的約分，兔子卡通先把分子與整數相乘，再把積約分化簡(jiǎn)。大象卡通先約分，再相乘。前一種方法學(xué)生比較熟悉，在計算分數加、減法時(shí)，經(jīng)常先按法則計算，再化簡(jiǎn)結果。后一種方法由于先約分，算得的積是最簡(jiǎn)分數，而且相乘也更簡(jiǎn)單。要指導學(xué)生理解并喜歡大象卡通那樣的算法，對下面繼續教學(xué)分數乘分數有好處。
二、 例2著(zhù)重教學(xué)用乘法求一個(gè)數的幾分之幾是多少。
10朵綢花的1/2是幾朵？10朵綢花的2/5是幾朵？這些問(wèn)題學(xué)生在三年級（下冊）認識分數里曾經(jīng)解答過(guò)。那時(shí)的解答是通過(guò)102、1052這些整數乘除運算進(jìn)行的。例2再次教學(xué)這些實(shí)際問(wèn)題，要應用分數乘法的知識解答，概括出求一個(gè)數的幾分之幾是多少，用乘法計算這個(gè)結論，并用于解決其他求一個(gè)數的幾分之幾是多少的問(wèn)題中去。
在例2之前，乘法只用于求相同加數的和。教學(xué)例2之后，乘法還可以求一個(gè)數的幾分之幾。這是乘法概念的擴展。為了幫助學(xué)生理解乘法的新含義，例2在編寫(xiě)時(shí)注意了以下三點(diǎn)：
首先是加強分數的意義。用10朵花平均分成2份，其中1份是紅花的圖畫(huà)，對10朵的1/2作出具體而形象的解釋。一方面讓學(xué)生在體驗10朵的1/2的意義時(shí)，想到102=5這種算法。另一方面又利用十分熟悉的102促進(jìn)對10的1/2的理解。教學(xué)10朵的2/5，讓學(xué)生在圖畫(huà)里圈出綠花，經(jīng)歷把10朵花平均分成5份，其中2份是綠花的操作過(guò)程，以及1052的計算過(guò)程，體會(huì )10的2/5的含義。
然后是講述新知識。教材說(shuō)：求10朵的1/2是多少，可以用乘法計算。并寫(xiě)出算式101/2。還說(shuō)求10朵的2/5是多少，可以用102/5。在分數意義的平臺上，指出分數乘法的實(shí)際應用。利用101/2和102/5這兩個(gè)實(shí)例，概括出求一個(gè)數的幾分之幾是多少，用乘法計算。這個(gè)結論發(fā)展了原來(lái)的乘法概念，使乘法有了新的應用領(lǐng)域。
溝通新舊算法的聯(lián)系，更好地理解分數乘法。如果比較算式101/2和102，能夠發(fā)現它們都是求10的1/2是多少，都是把10平均分成2份。雖然運算不同，意義卻是相通的。同樣，算式102/5和1052都是把10平均分成5份，求其中的2份，都是求10的2/5是多少。例題在教學(xué)分數乘法的初始階段，安排這些可對比的內容，讓學(xué)生反復體驗分數乘法。
練一練加強概念。第1題先涂色表示12個(gè)圓的1/3、20個(gè)方格的4/5，感受一個(gè)數的幾分之幾的意義。再列式121/3、204/5計算，進(jìn)行較抽象的思考并用數學(xué)方法解決求一個(gè)數的幾分之幾的問(wèn)題。兩者結合，加強了分數乘法的概念。第2題用求一個(gè)數的幾分之幾描述圖示的數量關(guān)系，在現實(shí)問(wèn)題數學(xué)問(wèn)題數學(xué)方法的過(guò)程中，進(jìn)一步體驗求一個(gè)數的幾分之幾是多少，用乘法計算。
例2列出的算式都是分數乘整數，它們的計算方法已在例1里教學(xué)。所以101/2、102/5都可以讓學(xué)生計算，要提醒他們先約分，再相乘，盡量使計算過(guò)程簡(jiǎn)便些。
三、 例3用分數乘法解決實(shí)際問(wèn)題。
例2以及練習八第6～11題都是求一個(gè)數的幾分之幾是多少的實(shí)際問(wèn)題。編排例3繼續教學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，是因為比一個(gè)數多（或少）幾分之幾是較難理解的數量關(guān)系，而這些關(guān)系又普遍存在于實(shí)際問(wèn)題中。無(wú)論從知識的教學(xué)還是從知識的應用考慮，都需要單獨編排例題。
解答例3的關(guān)鍵是理解紅花比黃花多1/10、綠花比黃花少2/5的含義。從本質(zhì)上講，它們仍然是一個(gè)數的幾分之幾，但是比較難懂。教材用條形圖呈現三種花的朵數關(guān)系，表示黃花朵數的直條剛好是10格，表示紅花的直條比黃花多1格，形象地表達了紅花比黃花多1/10。例題還通過(guò)紅花比黃花多的是多少朵的1/10這個(gè)問(wèn)題，引導學(xué)生仔細研究圖意，正確理解紅花比黃花多的朵數相當于黃花的1/10。從而明白，求紅花比黃花多多少朵，就是求黃花的1/10是多少朵，即50朵的1/10是多少。
比一個(gè)數少幾分之幾是比一個(gè)數多幾分之幾的變式，安排在試一試里教學(xué)。在例3的條形圖上，如果把表示黃花的直條平均分成5份（每2格看成1份），綠花比黃花少這樣的2份。所以，綠花比黃花少2/5的含義是： 綠花比黃花少的朵數相當于黃花的2/5。教材要求學(xué)生仿照紅花比黃花多1/10那樣，在條形圖的直觀(guān)支持下，分析并理解數量關(guān)系。通過(guò)獨立解決變式的問(wèn)題，實(shí)現比一個(gè)數多幾分之幾向比一個(gè)數少幾分之幾的認知遷移。
第44頁(yè)第14題分析比一個(gè)數多（少）幾分之幾的意義是概念專(zhuān)項練習。在說(shuō)分數的意義時(shí)，要先指出把什么看作單位1，平均分成多少份，然后指出什么是這樣的幾份。如皮球的個(gè)數比足球多2/5，應該把足球個(gè)數看作單位1的量，把它平均分成5份，皮球比足球多的個(gè)數相當于這樣的2份。這題要把數量關(guān)系式補充完整，數量關(guān)系式可以視為一種數學(xué)模型。從解題角度上看數量關(guān)系式，它有助于列出算式或列出方程；從思維角度上看數量關(guān)系式，把文字敘述的數量關(guān)系改寫(xiě)成關(guān)系式，壓縮了思維過(guò)程，精簡(jiǎn)了數學(xué)語(yǔ)言，表達了思考結果；從教學(xué)角度上看數量關(guān)系式，它能進(jìn)一步加深理解概念，及時(shí)暴露認識的偏差。如果對比一個(gè)數多（少）幾分之幾的理解不正確，一定會(huì )在寫(xiě)出的數量關(guān)系式上有所表現。仍以皮球的個(gè)數比足球多2/5為例，如果在等號右邊填出皮球的個(gè)數，就是概念錯誤造成的。解答第15~17題，都要以正確的數量關(guān)系為前提，教材編排第14題的意圖是十分清楚的。
四、 例4、例5構建分數乘法的計算法則。
分數乘分數的計算方法并不復雜，記住和應用算法也不難。但是，理解為什么可以這樣計算卻很不容易，是再次應用分數概念開(kāi)展演繹推理的過(guò)程。教材編排兩道例題教學(xué)分數乘分數，充分發(fā)揮數、形結合的作用，讓學(xué)生體會(huì )分子相乘、分母相乘是合理的。
構建分數乘法的計算法則，要把分數乘整數的算法納入分數乘分數的算法之中，使前者成為一般算法里的特殊情況。教材在兩道例題后的試一試里完成這個(gè)內容的教學(xué)。
例4是首次感知分數乘分數的意義和算法。先在長(cháng)方形里涂色表示它的1/2，再畫(huà)斜線(xiàn)表示1/2的幾分之幾，讓學(xué)生在圖上體會(huì )數量關(guān)系和運算的含義，看出結果。教材依次安排了三項學(xué)習活動(dòng)：第一項活動(dòng)是分別說(shuō)出兩個(gè)長(cháng)方形中畫(huà)斜線(xiàn)部分各占1/2的幾分之幾，引出新的數學(xué)問(wèn)題： 1/2的1/4、1/2的3/4。得出這兩個(gè)數學(xué)問(wèn)題要仔細觀(guān)察每個(gè)圖里把1/2平均分成幾份，斜線(xiàn)畫(huà)了其中的幾份，就能知道左圖中畫(huà)斜線(xiàn)的部分占1/2的1/4，右圖中畫(huà)斜線(xiàn)的部分占1/2的3/4。第二項活動(dòng)要列出1/2的1/4、1/2的3/4的算式。應用初步形成的分數乘法概念，從求一個(gè)數的幾分之幾用乘法計算推理得出1/2的1/4可以用1/21/4計算，1/2的3/4可以用1/23/4計算。在寫(xiě)兩道算式時(shí)，體會(huì )一個(gè)數不僅是整數，也能是分數，進(jìn)一步完善了分數乘法的概念。第三項活動(dòng)從圖中看出兩道算式的積。因為1/2的1/4是長(cháng)方形紙的1/8，1/2的3/4是長(cháng)方形紙的3/8，所以1/21/4=1/8、1/23/4=3/8。在看圖與寫(xiě)出積的過(guò)程中，初步感知分子相乘的得數是積的分子，分母相乘的得數是積的分母。
例5繼續體會(huì )分數乘分數的算法。已給出了兩道算式2/31/5和2/34/5，還在兩個(gè)長(cháng)方形里涂色表示了2/3。第一項學(xué)習活動(dòng)是畫(huà)圖計算給出的兩道算式。在畫(huà)圖前要先想算式的意義，才會(huì )正確畫(huà)圖和看到算式的積。如2/31/5是求2/3的1/5是多少，要把表示2/3的那個(gè)部分平均分成5份，用斜線(xiàn)畫(huà)出其中的1份。斜線(xiàn)部分占長(cháng)方形的2/15，2/15就是2/31/5的積。又如2/34/5是求2/3的4/5是多少，要把表示2/3的那塊涂色部分平均分成5份，用斜線(xiàn)畫(huà)出其中的4份，由此得到2/34/5的積是8/15。第二項活動(dòng)在乘法算式的右邊寫(xiě)出積，讓學(xué)生在寫(xiě)2/15和8/15的時(shí)候，感受積的分子2和8是兩個(gè)乘數的分子的乘積，積的分母15是兩個(gè)乘數的分母的乘積。
兩道例題的教學(xué)線(xiàn)索不同，認知程度也不同。例4經(jīng)歷看圖寫(xiě)式得積的過(guò)程，感受分子相乘、分母相乘的可能性。例5通過(guò)看式畫(huà)圖得積體驗分子相乘、分母相乘的合理性。兩道例題都讓學(xué)生感受分數乘分數的算法，逐漸形成計算法則。
第55頁(yè)應用整數都能寫(xiě)成分母是1的分數這個(gè)知識，把2/113和45/6都改寫(xiě)成分數乘分數的形式，使分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母也適用于分數乘整數的計算，成為分數乘法的計算法則。
五、 例6教學(xué)分數連乘的算法和技巧。
例6用線(xiàn)段圖表示數量關(guān)系，整理解題思路。先畫(huà)一條線(xiàn)段表示一班做的綢花朵數，由于二班做的朵數是一班的8/9，所以把表示一班朵數的線(xiàn)段平均分成9份，便于畫(huà)出表示二班朵數的線(xiàn)段。教材要求學(xué)生畫(huà)表示三班做花的朵數，畫(huà)的時(shí)候要分析3/4的意思，理解這里是把二班做的朵數看作單位1。通過(guò)畫(huà)圖就能很快知道應先算二班做的朵數。
例題先分步列式解答，再列綜合式解答。教學(xué)要以綜合算式為主，因為在綜合算式里要講分數連乘的算法。關(guān)于分數連乘計算有兩點(diǎn)內容：一是各個(gè)乘數的分子連乘的得數是積的分子，各個(gè)乘數的分母連乘的得數是積的分母。二是要盡量先約分，再相乘。就是說(shuō)，要把分子、分母之間能夠進(jìn)行的約分都完成以后，相乘就簡(jiǎn)單了。兩點(diǎn)內容學(xué)生都能接受，先充分地約分可能會(huì )不大適應。教學(xué)不必在為什么這樣約分上糾纏，學(xué)生有計算結果應是最簡(jiǎn)分數的認識，能夠理解計算過(guò)程中要盡可能地約分。教學(xué)要清楚地展示約分活動(dòng)，如整數135和分母9之間的約分，分子8和分母4的約分。在練一練里還要指導不相鄰的分子與分母的約分，如22/275/119/10中的分母27和分子9的約分，幫助學(xué)生逐漸掌握約分的技巧。
六、 例7教學(xué)倒數的知識。
倒數的知識主要是兩點(diǎn)： 一點(diǎn)是倒數的概念，另一點(diǎn)是求倒數的方法。前一點(diǎn)是基礎知識，后一點(diǎn)是計算分數除法所需要的基本技能。建立倒數概念之后，求一個(gè)數的倒數就容易了。因此，例7十分重視概念的形成以及對概念的準確把握。
教學(xué)從尋找乘積是1的分數開(kāi)始。在8個(gè)分數中能找到3對乘積是1的分數，這項貌似游戲的活動(dòng)凸顯了倒數是乘積為1的兩個(gè)數之間的關(guān)系，這也是教學(xué)倒數概念必須掌握的內涵。教材里三個(gè)卡通的交流，說(shuō)的都是兩個(gè)分數相乘的積是1，突出了倒數概念的一個(gè)內涵。下面的文字敘述強調兩個(gè)數互為倒數，還以3/8和8/3為例，幫助學(xué)生體會(huì )互為倒數的意思指甲是乙的倒數，乙也是甲的倒數，這是倒數概念的又一個(gè)內涵。
求已知數的倒數分三個(gè)層次教學(xué)： 先求3/5、2/5等分數的倒數，然后求5、1等整數的倒數，最后是0沒(méi)有倒數。觀(guān)察互為倒數的兩個(gè)分數，發(fā)現它們的分子、分母剛好互換位置，一方面進(jìn)一步體會(huì )了互為倒數的兩個(gè)數的乘積是1，另一方面找到了寫(xiě)出一個(gè)數的倒數的方法。寫(xiě)整數的倒數，從概念出發(fā)，尋找與整數相乘等于1的那個(gè)分數，體會(huì )如果把整數看作分母是1的分數，那么它的倒數也是調換分子、分母位置得到的那個(gè)數。教材要求學(xué)生理解0沒(méi)有倒數，并作出相應的解釋。這是因為0和任何數相乘都得0，不存在與0相乘能得到1的數。
第51頁(yè)第4題里有四組數。第（1）組數都是真分數，它們的倒數都是假分數。第（2）組數都是大于1的假分數，它們的倒數都是真分數。第（3）組數的分子都是1，它們的倒數都是整數。第（4）組數都是整數，它們的倒數都是幾分之一的數。讓學(xué)生發(fā)現這些規律，是為了鞏固倒數概念，熟練掌握求倒數的方法。
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