關(guān)于數列求和的解題方法總結

　　總結就是把一個(gè)時(shí)間段取得的成績(jì)、存在的問(wèn)題及得到的經(jīng)驗和教訓進(jìn)行一次全面系統的總結的書(shū)面材料，它可以促使我們思考，讓我們來(lái)為自己寫(xiě)一份總結吧�？偨Y一般是怎么寫(xiě)的呢？下面是小編整理的數列求和的解題方法總結，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

　　數列求和的教學(xué)設計

　　一教學(xué)知識點(diǎn)：

　　數列通項與數列求和

　　二.教學(xué)要求：

　　掌握數列的通項公式的求法與數列前n項和的求法。能通過(guò)轉化的思想把非等差數列與非等比數列轉化為兩類(lèi)基本數列來(lái)研究其通項與前n項的和。

　　三.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

　　重點(diǎn)：等差數列與等比數列的求和，及其通項公式的求法。

　　難點(diǎn)：轉化的思想以及轉化的途徑。

　　四.基本內容及基本方法

　　1、求數列通項公式的常用方法有：觀(guān)察法、公式法、待定系數法、疊加法、疊乘法、Sn法、輔助數列法、歸納猜想法等;

　　(1)根據數列的前幾項，寫(xiě)出它的一個(gè)通項公式，關(guān)鍵在于找出這些項與項數之間的關(guān)系，常用的方法有觀(guān)察法、通項法，轉化為特殊數列法等.

　　(2)由Sn求an時(shí)，用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2這個(gè)條件，a1應由a1=S1來(lái)確定，最后看二者能否統一.

　　(3)由遞推公式求通項公式的常見(jiàn)形式有：an+1-an=f(n)，

　　=f(n)，an+1=pan+q，分別用累加法、累乘法、迭代法(或換元法).

　　2、數列的前n項和

　　(1)數列求和的常用方法有：公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序求和法等。

　　求數列的前n項和，一般有下列幾種方法：

　　(2)等差數列的前n項和公式：

　　Sn==.

　　(3)等比數列的前n項和公式：

　�、佼攓=1時(shí)，Sn=.

　�、诋攓≠1時(shí)，Sn=.

　　(4)倒序相加法：將一個(gè)數列倒過(guò)來(lái)排列與原數列相加.主要用于倒序相加后對應項之和有公因子可提的數列求和.

　　(5)錯位相減法：適用于一個(gè)等差數列和一個(gè)等比數列對應項相乘構成的數列求和.

　　(6)裂項求和法：把一個(gè)數列分成幾個(gè)可直接求和的數列.

　　方法歸納：①求和的基本思想是“轉化”。其一是轉化為等差、等比數列的求和，或者轉化為求自然數的方冪和，從而可用基本求和公式;其二是消項，把較復雜的數列求和轉化為求不多的幾項的和。

　�、趯ν�項中含有(-1)n的數列，求前n項和時(shí)，應注意討論n的奇偶性。

　�、鄣剐蛳嗉雍湾e位相減法是課本中分別推導等差、等比數列前n項和用到的方法，在復習中應給予重視。

　　【典型例題】

　　例1.已知數列{an}的前n項和Sn=n2-9n.

　　(1)求證：{an}為等差數列;

　　(2)求Sn的最小值及相應的n;

　　(3)記數列{

　　}的前n項和為T(mén)n，求Tn的表達式。

　　解：(1)n=1時(shí)，a1=S1=-8

　　n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-10

　　∴an=2n-10an+1-an=2

　　∴{an}是等差數列.

　　(2)Sn=n2-9n=(n-

　　)2-

　　∴當n=4或n=5時(shí)，Sn有最小值-20.

　　(3)an=2n-10∴|an|=|2n-10|

　　令an≥0

　　n≥5∴當n≤4時(shí)，|an|=10-2n

　　Tn=

　　，當n≥5時(shí)，

　　Tn=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+an

　　=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=Sn-2S4

　　=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40

　　∴Tn=

　　《數列求和》教學(xué)設計

　　等比數列這個(gè)名詞是我們在數學(xué)中經(jīng)常會(huì )用到的一個(gè)名詞，我們在初中的時(shí)候就開(kāi)始學(xué)習等比數列，但是在升入高中以后可能還是對這一個(gè)難題束手無(wú)策，在這里，小編就要教教大家如何用等比數列求和，攻克這一個(gè)數學(xué)難題!

　　一.等比數列求和的教學(xué)基礎

　　1.知識結構

　　先用錯位相減法推出等比數列前項和公式，而后運用公式解決一些問(wèn)題，并將通項公式與前項和公式結合解決問(wèn)題，還要用錯位相減法求一些數列的前n項.

　　2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)是等比數列前項和公式的推導與應用.公式的推導中蘊含了豐富的數學(xué)思想、方法(如分類(lèi)討論思想，錯位相減法等)，這些思想方法在其他數列求和問(wèn)題中多有涉及，所以對等比數列前n項和公式的要求，不單是要記住公式，更重要的是掌握推導公式的方法.等比數列前n項和公式是分情況討論的，在運用中要特別注意q=1和q=1兩種情況.

　　3.學(xué)習建議

　�、俦竟潈热莘譃閮烧n時(shí)，一節為等比數列前項和公式的推導與應用，一節為通項公式與前項和公式的綜合運用，另外應補充一節數列求和問(wèn)題.

　�、诘缺葦盗星皀項和公式的推導是重點(diǎn)內容，引導學(xué)生觀(guān)察實(shí)例，發(fā)現規律，歸納總結，證明結論

　�、鄣缺葦盗星皀項和公式的推導的其他方法可以給出，提高學(xué)生學(xué)習的興趣

　�、芫帞M例題時(shí)要全面，不要忽略的情況.

　�、萃�項公式與前n項和公式的綜合運用涉及五個(gè)量，已知其中三個(gè)量可求另兩個(gè)量，但解指數方程難度大

　�、扪a充可以化為等差數列、等比數列的數列求和問(wèn)題.

　　二、等比數列求和公式

　　一個(gè)數列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個(gè)常數，且數列中任何項都不為0，

　　即：A(n+1)/A(n)=q(n∈N*)，這個(gè)數列叫等比數列，其中常數q叫作公比。

　　如：2、4、8、16......2^10就是一個(gè)等比數列，其公比為2，可寫(xiě)為an=2×2^(n-1)通項公式an=a1×q^(n-1);

　　1.通項公式與推廣式

　　推廣式：an=am×q^(n-m)[^的意思為q的(n-m)次方];

　　2.求和公式

　　Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)S∞=a1/(1-q)(n->∞)(|q|<1)(q為公比，n為項數)

　　3.等比數列求和公式推導

　�、賁n=a1+a2+a3+...+an(公比為q)

　�、趒*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)

　�、跾n-q*Sn=a1-a(n+1)

　�、�(1-q)Sn=a1-a1*q^n

　�、軸n=(a1-a1*q^n)/(1-q)

　�、轘n=(a1-an*q)/(1-q)

　�、逽n=a1(1-q^n)/(1-q)

　　4性質(zhì)簡(jiǎn)介

　�、偃鬽、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq;

　�、谠诘缺葦盗兄�，依次每k項之和仍成等比數列;等比數列的性質(zhì)

　�、廴鬽、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=(aq)^2;

　�、苋鬐是a、b的等比中項，則G^2=ab(G≠0);

　�、菰诘缺葦盗兄�，首項a1與公比q都不為零

　　三.學(xué)習等比數列的方法

　　1知識與技能目標

　　理解用錯位相減法推導等比數列前n項和公式的過(guò)程，掌握公式的特點(diǎn)，并在此基礎上能初步應用公式解決與之有關(guān)的問(wèn)題.

　　2.過(guò)程與方法目標

　　通過(guò)對公式的研究過(guò)程，提高學(xué)生的建模意識及探究問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的能力，體會(huì )公式探求過(guò)程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類(lèi)討論思想及轉化思想，優(yōu)化思維品質(zhì).

　　3.情感、態(tài)度與價(jià)值目標

　　通過(guò)學(xué)生自主對公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng )新，磨練思維品質(zhì)，并從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱(chēng)美、形式的簡(jiǎn)潔美、數學(xué)的嚴謹美.

　　4..教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

　�、僦攸c(diǎn)：等比數列前n項和公式的推導及公式的簡(jiǎn)單應用.突出重點(diǎn)的方法：“抓三線(xiàn)、突重點(diǎn)”，即一是知識技能線(xiàn)：?jiǎn)?wèn)題情境→公式推導→公式運用;二是過(guò)程方法線(xiàn):從特殊、歸納猜想到一般→錯位相減法→數學(xué)思想;三是能力線(xiàn)：觀(guān)察能力→初步解決問(wèn)題能力

　　.②難點(diǎn)：錯位相減法的生成和等比數列前n項和公式的運用.突破難點(diǎn)的手段：“抓兩點(diǎn)，破難點(diǎn)”,即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學(xué)生大膽猜想、積極探索，并及時(shí)給予肯定;二抓知識的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認知水平和所需的知識特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生主體下給予適當的提示和指導.

　　淺析數列求和法

　　摘要：數列求和是高中數學(xué)知識中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它在高考中出現的頻率高，題型多種多樣，考查方式靈活。將數列求和的方法進(jìn)行總結和歸納能夠幫助學(xué)生找到其中的解題規律，提高該類(lèi)型題的成功率。

　　關(guān)鍵詞：高中數學(xué)；數列求和；方法；歸納

　　求數列的前n項和是數列題中的高頻考點(diǎn)。它的考查十分靈活，題型變化多樣，有以選擇題的方式出現，有的則是填空題，甚至還會(huì )以一道綜合大題的方式進(jìn)行考查。本文通過(guò)用列舉典型題的方式，總結歸納了6種常見(jiàn)的數列求和方法，供大家參考。

　　一、倒序相加法

　　如果一個(gè)數列{an},與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著(zhù)寫(xiě)與倒著(zhù)寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數列的和，這一求和方法稱(chēng)為倒序相加法。倒序相加法是數列求和當中應用最廣的一種解題方法，它的基本類(lèi)型可以用公式表示為：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3…具體解法見(jiàn)下面的例題。

　　例：設等差數列{an},公差為d,求證：{an}的前n項和Sn=n（a1+an）/2

　　解：Sn=a1+a2+a3+…+an①

　　倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②

　�、�+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+…+（an+a1）

　　又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

　　∴2Sn=n（a2+an）Sn=n（a1+an）/2

　　倒序相加法的解題關(guān)鍵就是要能夠看到首項和末項之間的關(guān)系，這就需學(xué)生要有一定的敏感度，一眼就能找準解題的方法，然后就是要細心地做。()因此，做數列題除了要注意總結和歸納解題方法外，大量的習題訓練也是十分必要的。

　　二、用公式法

　　對等差數列、等比數列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數列的前n項和公式進(jìn)行求解。等差數列的基本求和公式為：Sn=（a1+an）n/2;變形公式為Sn=na1+n（n-1）d/2（d為公差）。等比數列的求和公式為：Sn=na1（q=1）；Sn=a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）（q為公比，n為項數）。利用公式來(lái)求數列之和是一種比較基本的題型，它的難度不大，只要掌握基本公式，并且具有一定的敏感度就能做對這類(lèi)型的題。

　　三、裂項相消法

　　裂項相消法是數列求和中比較難的一類(lèi)題型，因為它不好看出數列之間的規律。如果裂項不對，也不能將問(wèn)題解出。裂項相消法的解題原理是：將數列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數列的前n項和。

　　四、錯位相減法

　　若在數列{an·bn}中，{an}成等差數列，{bn}成等比數列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出{anbn}前n項和。

　　錯位相減法其實(shí)并不難，關(guān)鍵是要細心，要能找好兩個(gè)式子之間的對應項，如果二者相減的時(shí)候沒(méi)有找準對應項，即便思路再對，也會(huì )滿(mǎn)盤(pán)皆輸。因此，做任何一道數列題，都要求書(shū)寫(xiě)工整，格式規范，以免造成不必要的失分。

　　五、疊加法

　　疊加法主要應用于數列{an}滿(mǎn)足an+1=an+f（n），其中f（n）在等差數列或等比數列的條件下，可把這個(gè)式子變成an+1-an=f（n），代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過(guò)整理，可求出an,從而求出Sn.

　　六、分組求和法

　　分組求和法就是對一類(lèi)既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這類(lèi)數列適當拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數列，然后分別求和，最后將其合并的方法。記住了這一類(lèi)題型的特點(diǎn)，就能準確找到解題思路。

　　總之，數列求和以其靈活多變的出題方式和較高的錯題率成為高中數學(xué)中的難點(diǎn)。這類(lèi)題雖然難，但也并不是無(wú)規律可循的。萬(wàn)變不離其宗，教師在講課當中應該幫助學(xué)生多多總結歸納相關(guān)的解題技巧和解題方法，并配合適當的試題訓練；學(xué)生自身也要多思考，可以準備一個(gè)錯題記錄本時(shí)常翻看，有助于將這類(lèi)問(wèn)題消化吸收，最終將其完全掌握。

　　淺談高中數學(xué)教學(xué)方法新課改下高中數學(xué)教學(xué)存在的問(wèn)題及對策在高中數學(xué)教學(xué)中倡導積極主動(dòng)的學(xué)習方式

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