汶上縣苑莊鎮田村小學(xué) 徐恩路
在新課程的實(shí)施過(guò)程中，某些教師對課程理念方面已有一定的理解，但在教學(xué)實(shí)踐的落實(shí)中存在著(zhù)距離，在課堂教學(xué)中存在著(zhù)照貓畫(huà)虎的問(wèn)題，表現在數學(xué)教學(xué)中重視問(wèn)題情境創(chuàng )設，輕數學(xué)化訓練；重合作交流，輕自主探索；重學(xué)生主體，輕教師主導；重電腦課件演示的多媒體教學(xué)手段，輕教師的講述、提問(wèn)、語(yǔ)言與板書(shū)等傳統教學(xué)媒體的運用。這些重形式、輕實(shí)質(zhì)的教學(xué)行為雖然只是課程改革中出現的部分現象，但其影響卻不可低估。
一、問(wèn)題的提出
一位知名的特級教師在教學(xué)“直線(xiàn)”的概念時(shí)創(chuàng )設了如下的教學(xué)情境：
讓學(xué)生直觀(guān)感受生活中的直線(xiàn)。出示圖片，如鐵軌、行進(jìn)的隊列等導入新課。
教師組織學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)，讓學(xué)生在教室內排起方陣，橫豎成行，以體驗直線(xiàn)公理--兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)。分別進(jìn)行以下活動(dòng)：
�、俳處熥屢粋�(gè)學(xué)生起立，要求與該學(xué)生共線(xiàn)的學(xué)生起立。最后教師總結：因為每個(gè)同學(xué)都可以與該同學(xué)共線(xiàn)，所以經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數條直線(xiàn)。
�、谠僮寖蓚�(gè)學(xué)生起立，凡與這兩學(xué)生共線(xiàn)的起立。教師總結：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)。
�、圩詈笠笕齻�(gè)學(xué)生起立，凡與這三學(xué)生共線(xiàn)的起立。教師總結：過(guò)三點(diǎn)的直線(xiàn)不確定。
“奇文共欣賞，疑義相與析�！睆哪承┙逃龑W(xué)老師的觀(guān)念看，本節課這位教師貫徹了新課程的教育理念，如能夠注重教學(xué)情境的創(chuàng )設，充分組織學(xué)生活動(dòng)，體現了新課程所倡導的“數學(xué)教學(xué)是數學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，數學(xué)學(xué)習是以學(xué)生為主體的學(xué)習活動(dòng)”，課堂氣氛非常熱烈，因此，給本節課帶來(lái)一片叫好之聲。然而從數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)分析，這節課很不嚴謹。由于教師自身數學(xué)素養的缺失，沒(méi)有處理好情境的“數學(xué)化”。這種追求數學(xué)學(xué)本質(zhì)以外的表演課使數學(xué)課堂教學(xué)變味，給學(xué)生的數學(xué)學(xué)習帶來(lái)負面影響，因此是對數學(xué)教學(xué)活動(dòng)的褻瀆。
二、問(wèn)題的分析
首先，該教師在教學(xué)過(guò)程中沒(méi)有明確直線(xiàn)的本質(zhì)屬性。雖然直線(xiàn)是不定義的概念，從公元前三世紀古希臘數學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》以來(lái)，人們曾經(jīng)試圖對直線(xiàn)進(jìn)行定義都沒(méi)有成功，但是它的一些固有屬性，如是由無(wú)窮個(gè)點(diǎn)組成的一個(gè)連續圖形；兩端可以無(wú)限延伸；很直；無(wú)粗細可言等應當是本節課的教學(xué)重點(diǎn)。其次，這位教師不了解數學(xué)教學(xué)中創(chuàng )設問(wèn)題情境的目的，不了解情境的局限性，不能從數學(xué)認知的角度對問(wèn)題情境進(jìn)行抽象。比如，在本節課中，該教師所創(chuàng )設的直線(xiàn)有關(guān)問(wèn)題情境和直線(xiàn)的概念之間存在著(zhù)以下矛盾：
1.從有限與無(wú)限這對矛盾上：情境中描述直線(xiàn)的隊列是由有限個(gè)人組成；而直線(xiàn)是由無(wú)限個(gè)點(diǎn)組成。
2.從一維空間與三維空間這對矛盾上：情境是三維立體的；而直線(xiàn)是一維的。
3.從連續與間斷這對矛盾上：情境是間斷的；而直線(xiàn)是連續的。
4.從具體與抽象這對矛盾上：情境是既有寬度又有高度；而直線(xiàn)沒(méi)有寬度。
5.從特殊與一般這對矛盾上：情境只給出了一個(gè)原形；而直線(xiàn)是許多原形形式化抽象。
6.從近似與精確這對矛盾上：情境高低不平，定義粗糙不嚴格；而直線(xiàn)揭示概念的本質(zhì)屬性應該是“很直”。
7.從現實(shí)與形式這對矛盾上：情境的隊列在生活中存在；而直線(xiàn)在生活中卻是不存在的。
三、對問(wèn)題的思考
以上問(wèn)題的存在不是個(gè)別孤立的現象，早在上個(gè)世紀六十年代的美國新數運動(dòng)中，一位老師在教學(xué)“集合”的概念時(shí)，分別讓男生、女生、白人學(xué)生、黑人學(xué)生起立，說(shuō)明男生、女生、白人學(xué)生、黑人學(xué)生分別組成了集合，一位學(xué)生回到家以后，父親指著(zhù)一堆土豆問(wèn)能不能組成集合，孩子說(shuō)：“不能！除非它們都能夠站起來(lái)�！睘榱吮苊獬霈F上述笑話(huà)，在數學(xué)教學(xué)中創(chuàng )設情境時(shí)必須做到以下幾點(diǎn)：
1.明確創(chuàng )設情境的目的與意義
所謂教學(xué)情境，是指“在教學(xué)過(guò)程中，教師出于教學(xué)目標的需要，根據一定的教學(xué)內容，用真實(shí)的情境呈現有待解決的問(wèn)題”。
教師創(chuàng )設問(wèn)題情境的目的，是把數學(xué)新知的學(xué)習建立在學(xué)生生活實(shí)踐的基礎上，通過(guò)營(yíng)造現實(shí)有趣的學(xué)習背景，引導學(xué)生觀(guān)察實(shí)物或教具，讓學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)驗與測量，以獲得知識，用熟悉的生活實(shí)例說(shuō)明數和形的特征，說(shuō)明法則與公式的由來(lái)。
創(chuàng )設情境讓學(xué)生有機會(huì )感悟數學(xué)：看到數學(xué)起源于現實(shí)，看到數學(xué)應用于生活，感知到數學(xué)是對客觀(guān)世界進(jìn)行空間形式和數量關(guān)系方面的猜想化、形式化的刻畫(huà)，進(jìn)而認識數學(xué)是認識世界、改造世界的工具。
2.處理好創(chuàng )設情境與“數學(xué)化”的關(guān)系
數學(xué)教學(xué)中強調創(chuàng )設情境，不是說(shuō)數學(xué)等同于情境，再好的情境都有它的局限性，它不像數學(xué)概念那樣準確與簡(jiǎn)潔。曾經(jīng)聽(tīng)過(guò)角的概念的教學(xué)，老師出示鐘面創(chuàng )設情境，要求學(xué)生找出鐘面上時(shí)針與分針組成的角，當學(xué)生指出時(shí)針與分針是兩條線(xiàn)段不能組成角時(shí)，老師只能張口結舌。與上例直線(xiàn)一樣，現實(shí)情境的有限性難以描述抽象概念的無(wú)限性，現實(shí)情境的離散性難以表達直線(xiàn)的連續性。由于數學(xué)“是忽略了物質(zhì)的具體運動(dòng)形態(tài)和屬性的抽象結構與模式”，教師要善于提煉情境中包含的數學(xué)概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生經(jīng)歷“數學(xué)化”的過(guò)程。
所謂“數學(xué)化”，簡(jiǎn)言之，即用數學(xué)的思想與方法將實(shí)際材料組織起來(lái)。數學(xué)教師在數學(xué)教學(xué)中不僅要創(chuàng )設問(wèn)題情境，重視數學(xué)與外部的聯(lián)系，而且特別要重視數學(xué)內部的邏輯聯(lián)系。正如弗賴(lài)登塔爾所說(shuō)：“數學(xué)教學(xué)不要教孤立的片段，應該教連貫的教材�！�
創(chuàng )設問(wèn)題情境的學(xué)習方式必須符合學(xué)生的認知規律：從直觀(guān)到嚴謹、從特殊到一般、從具體到抽象。這樣既便于建立新舊知識之間的非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，又有利于感受數學(xué)知識的形成過(guò)程、感受數學(xué)發(fā)現的擬真過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)會(huì )數學(xué)地思考。在以上“直線(xiàn)”“集合”和“角”的概念教學(xué)中，都有一個(gè)從具體情境到抽象數學(xué)模式之間“數學(xué)化”的提煉過(guò)程。而數學(xué)化的過(guò)程不同程度經(jīng)歷辨別、分化、類(lèi)化、抽象、檢驗、概括、強化、形式化等步驟，它體現了數學(xué)教學(xué)的核心價(jià)值--數學(xué)化。
3.防止負情境
低級庸俗與科學(xué)性缺失的情境實(shí)際是一種負情境。我們曾經(jīng)見(jiàn)過(guò)這樣的案例。
一位語(yǔ)文老師在教學(xué)唐詩(shī)，當講到“柴門(mén)聞犬吠”時(shí)，要求學(xué)生創(chuàng )設情境，模仿大狗吠、小狗吠、單狗吠、群狗吠，教室中一片狗吠之聲。一位數學(xué)教師在教學(xué)《假分數》的時(shí)候，她為了體現新課程“創(chuàng )設問(wèn)題情境”的要求，創(chuàng )設了如下的“教學(xué)情境”：
師：母親的年齡大，還是兒子的年齡大？
生：母親的年齡大。
師：如果“兒子的年齡比母親的年齡大”，這是真的還是假的？
生：假的。
師：好的。既然“兒子的年齡比母親的年齡大”是假的，那么分子大于分母的分數叫做假分數。
根據概念的定義規則，定義概念的外延與被定義概念的外延必須相同，否則就要違背了“定義應該是相稱(chēng)的”這一規則。從邏輯思維的角度，該教師犯了“定義過(guò)狹”的邏輯錯誤，即屬加種差的外延小于被定義概念的外延，因為不僅分子大于分母的分數是假分數，分子等于分母的分數也同樣是假分數。如同負數比零要小，負情境要比零情境的教學(xué)效果更差。
此外，形式主義也是當前創(chuàng )設情境的大忌，也是一種負情境。比如，一位老師在教學(xué)《等可能事件》時(shí)，它運用多媒體現代教學(xué)手段來(lái)創(chuàng )設情境，“刻意地用電腦課件去取代學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)，把學(xué)生的地位從操作主體變成局外看客，把數學(xué)教學(xué)的直觀(guān)性從最強的“實(shí)物直觀(guān)”降低為等而下之的“影像直觀(guān)”。
在數學(xué)教學(xué)中，當需要培養學(xué)生的想象能力、抽象能力和邏輯推理能力的時(shí)候，若用屏幕上有限的“形象”代替了啟發(fā)學(xué)生的數學(xué)“想象”，用屏幕上個(gè)別的“具體”取代了啟發(fā)學(xué)生的數學(xué)“抽象”，用屏幕上的快速推導，取代了板書(shū)教學(xué)中邊寫(xiě)邊想師生互動(dòng)的邏輯漸進(jìn)過(guò)程，反而會(huì )減弱對學(xué)生的數學(xué)思維能力訓練。
四、問(wèn)題的解決
回到開(kāi)始的問(wèn)題，本節課教學(xué)的直線(xiàn)是初等幾何的一個(gè)原始概念，是定義其他幾何概念最初的出發(fā)點(diǎn)。在D.希爾伯特的公理化體系《幾何基礎》中，直線(xiàn)是從現實(shí)原型中直接抽象出來(lái)的不加定義的概念。它的基本性質(zhì)是用一組公理來(lái)表述的。
首先，必須明確“直線(xiàn)”概念的教學(xué)中有三個(gè)要素：直；無(wú)粗細可言和無(wú)限延伸性�！爸薄笨梢酝ㄟ^(guò)教具演示、通過(guò)與“曲”的對比使學(xué)生認識。比如，有位教師在教學(xué)中作如下演示：取出一根繩線(xiàn)，用兩手握著(zhù)繩線(xiàn)的兩端，先使其成懸鏈線(xiàn)，再將它拉直，讓學(xué)生體驗“直”。通過(guò)引導學(xué)生觀(guān)察墻角線(xiàn)以及黑板與墻面的交線(xiàn)認識直線(xiàn)“無(wú)粗細可言”。雖然以上列舉的繩線(xiàn)、墻角的交線(xiàn)都不是直線(xiàn)，但通過(guò)他們的演示分別顯示了直線(xiàn)的部分本質(zhì)屬性。
除了上述教學(xué)方法外，還要進(jìn)一步增強直觀(guān)，增加學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐的活動(dòng)，以增強對“直線(xiàn)”概念本質(zhì)屬性的理解�？梢栽O計如下方案：
1．用直尺在黑板上的兩點(diǎn)間畫(huà)線(xiàn)。用拉緊的粉線(xiàn)在兩點(diǎn)間彈線(xiàn)。同時(shí)，讓學(xué)生在作業(yè)本上的兩點(diǎn)間畫(huà)線(xiàn)。指出：這樣畫(huà)的線(xiàn)都是線(xiàn)段。
2．讓學(xué)生討論、交流，最后明確：線(xiàn)段是直的（而不是彎曲的）；線(xiàn)段有兩個(gè)端點(diǎn)；通過(guò)“肉包子打狗”的趣味演示：狗要獲得前面的食物，所走的路線(xiàn)是直線(xiàn)，還是曲線(xiàn)？為什么？由此得出“在連接兩點(diǎn)的線(xiàn)中，線(xiàn)段最短”的性質(zhì)，形象風(fēng)趣的比喻，給學(xué)生留下深刻的印象。
3．出示畫(huà)有各種線(xiàn)的卡片，讓學(xué)生辨別：哪些是線(xiàn)段、哪些不是。
4．讓學(xué)生從周?chē)h(huán)境里找出線(xiàn)段。
5．讓學(xué)生將畫(huà)出的線(xiàn)段向一方延長(cháng)，再延長(cháng)……告訴學(xué)生：線(xiàn)段向一方無(wú)限延長(cháng)得到的圖形叫做射線(xiàn)；線(xiàn)段向兩方無(wú)限延長(cháng)得到的圖形叫做直線(xiàn)。從而認識：射線(xiàn)是向一方無(wú)限延伸的，射線(xiàn)有一個(gè)端點(diǎn)。直線(xiàn)是向兩方無(wú)限延伸的，直線(xiàn)沒(méi)有端點(diǎn)。
6．要求學(xué)生用直尺畫(huà)直線(xiàn)，過(guò)一點(diǎn)畫(huà)以及過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)。獲得“過(guò)兩點(diǎn)只能畫(huà)一條直線(xiàn)”的感性認識。這樣，可以使得學(xué)生先通過(guò)直觀(guān)教學(xué)認識有限的圖形；然后在此基礎上，通過(guò)自己的動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)，畫(huà)圖操作和想象，認識無(wú)限的圖形。無(wú)限的概念運用直觀(guān)教學(xué)難以奏效，只有引導學(xué)生通過(guò)想象來(lái)把握。
因此，數學(xué)教學(xué)中要注意創(chuàng )設情境，但不能處處都強調機械地創(chuàng )設情境。在創(chuàng )設情境的過(guò)程中，教師應該是“理智的引路人”，以科學(xué)的精神，用自己的教學(xué)智慧來(lái)培養學(xué)生的數學(xué)意識與數學(xué)能力。