主要內容
正比例和反比例
學(xué)習目標
1、使學(xué)生結合實(shí)際情境認識成正比例和反比例的量，能根據正、反比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例或反比例。
2、使學(xué)生初步認識正比例的圖像是一條直線(xiàn)，能利用給出的具有正比例關(guān)系的數據在方格紙上畫(huà)出相應的直線(xiàn)，能根據具有正比例關(guān)系的一個(gè)量的數值看圖估計另一個(gè)量的數值。
3、使學(xué)生在認識成正比例、反比例的量的過(guò)程中，初步體會(huì )數量之間相依互變的關(guān)系，感受有效表示數量關(guān)系及其變化規律的不同數學(xué)模型，進(jìn)一步提升思維水平。
4、使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì )數學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，增強探索數學(xué)知識和規律的意識，養成積極主動(dòng)地參與學(xué)習活動(dòng)的習慣，提高學(xué)好數學(xué)的信心。
考點(diǎn)分析
1、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著(zhù)變化。如果這兩種量中相對應的兩個(gè)數的比的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來(lái)表示： = K（一定）。
2、用“描點(diǎn)法”可以得到正比例的圖像，正比例的圖像是一條直線(xiàn)。對照圖像，能根據一種量的值，估計另一種量相對應的值。
3、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著(zhù)變化。如果這兩種量中相對應的兩個(gè)數的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用ｋ表示它們的積，反比例關(guān)系可以用這樣的式子來(lái)表示：ｘｙ = K（一定）。
4、兩個(gè)變量的比值一定，這兩個(gè)變量成正比例；兩個(gè)變量的積一定，這兩個(gè)變量成反比例；沒(méi)有上述兩種關(guān)系，這兩個(gè)變量不成比例。
典型例題
例1、（正比例的意義）一列火車(chē)行駛的時(shí)間和路程如下表。這兩種量有什么關(guān)系？
時(shí)間/時(shí) 1 2 3 4 5 6 ……
路程/千米 120 240 360 480 600 720 ……
分析與解：（1）從上表可以看出，表中有時(shí)間和路程兩種量。
（2）從左往右看，時(shí)間擴大，路程也擴大；從右往左看，時(shí)間縮小，路程也縮小。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。
（3）路程和時(shí)間的比值始終不變， = 120， = 120， = 120……這個(gè)比值就是火車(chē)的行駛速度。
通過(guò)觀(guān)察和計算，我們對路程和時(shí)間的關(guān)系有兩點(diǎn)發(fā)現：第一點(diǎn)路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，也就是時(shí)間變化，路程也隨著(zhù)變化；第二點(diǎn)路程和對應的時(shí)間的比的比值（也就是速度）是一定的，有這樣的關(guān)系： = 速度（一定）。
具備了這兩個(gè)條件，我們就可以得到結論：行駛的路程和時(shí)間成正比例關(guān)系；行駛的路程和時(shí)間成正比例的量。
點(diǎn)評：判斷兩種量是不是成正比例，分三步：一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著(zhù)變化；滿(mǎn)足了前面兩個(gè)條件，再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來(lái)表示： = K（一定）。
例2、（判斷是否成正比例）
練習本的單價(jià)一定，買(mǎi)練習本的數量和總價(jià)是不是成正比例？為什么？
分析與解：根據正比例的意義，看兩個(gè)變量的比值是否一定，如果兩個(gè)變量的比值一定，那么這兩個(gè)變量就成正比例，反之，則不成正比例。
買(mǎi)練習本的數量和總價(jià)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與練習本的單價(jià)有下面的關(guān)系：
= 練習本的單價(jià)（一定）
所以練習本的數量和總價(jià)成正比例。
例3、（正比例的圖像）磁懸浮列車(chē)勻速行駛時(shí)，路程與時(shí)間的關(guān)系如下。
時(shí)間/分 1 2 3 4 5 6 7 ……
路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 ……
（1）圖中的點(diǎn)A表示時(shí)間為1分鐘時(shí)，磁懸浮列車(chē)駛過(guò)的路程為7千米。請你試著(zhù)描出其他各點(diǎn)。
（2）連接各點(diǎn)，它們在一條直線(xiàn)上嗎？
（3）根據圖像判斷，列車(chē)運行2分半鐘時(shí)，行駛的路程是多少千米？行駛30千米大約需要幾分鐘？ 路程/千米
42
35
28
21
14
7 ●A
0
1 2 3 4 5 6 7 時(shí)間/分
分析與解：根據提供的各組數據描出圖像的許多個(gè)點(diǎn)，再依次連成直線(xiàn)。路程和時(shí)間相對應的數的比值都是7，即速度一定，路程和時(shí)間成正比例，圖像是一條直線(xiàn)。對照圖像，可以根據時(shí)間的值估計出路程的值，也可以根據路程的值估計出時(shí)間的值，估計時(shí)允許有一定的出入。
（1）描點(diǎn)、連線(xiàn)如圖。
路程/千米
42 ●
35 ●
28 ●
21 ●
14 ●
7 ●A
0
1 2 3 4 5 6 7 時(shí)間/分
（2）在一條直線(xiàn)上，因為路程和時(shí)間成正比例，正比例的圖像是一條直線(xiàn)。
（3）根據圖像，列車(chē)運行2分半鐘時(shí)，行駛的路程是17.5千米；行駛30千米大約需要4.3分鐘。
例4、（辨析）圓的周長(cháng)和直徑成正比例，圓的面積和半徑成正比例？
分析與解：圓的周長(cháng)和直徑成正比例，而圓的面積和半徑卻不成正比例。
可列表判斷。
半徑/cm 1 2 3 4 5 6 ……
直徑/cm 2 4 6 8 10 12 ……
周長(cháng)/cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 ……
面積/cm 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 ……
圓的周長(cháng)和直徑的相對應的數的比值都是3.14，所以圓的周長(cháng)和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對應的數的比值是變化的，所以圓的面積和半徑不成正比例。
圓的周長(cháng)和直徑成正比例，圓的面積和半徑卻不成正比例。
例5、（反比例的意義）
下表是王師傅加工一批零件時(shí)，每小時(shí)加工零件個(gè)數隨時(shí)間變化的情況。這兩種量有什么關(guān)系？
每小時(shí)加工零件的個(gè)數/個(gè) 20 30 40 60 80 ……
加工的時(shí)間/時(shí) 12 8 6 4 3 ……
分析與解：（1）從上表可以看出，表中有每小時(shí)加工零件的個(gè)數和加工的時(shí)間兩種量。（2）從左往右看，每小時(shí)加工零件的個(gè)數擴大，加工的時(shí)間反而縮��；從右往左看，每小時(shí)加工零件的個(gè)數縮小，加工的時(shí)間反而擴大。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。（3）每小時(shí)加工零件的個(gè)數和相對應的加工的時(shí)間的積都始終不變，如20 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 × 6 = 240……而這個(gè)積就是這批零件的總個(gè)數。
通過(guò)觀(guān)察和計算，我們發(fā)現：每小時(shí)加工零件的個(gè)數和加工的時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，每小時(shí)加工零件的個(gè)數隨著(zhù)加工的時(shí)間變化而變化，但無(wú)論它們怎么變化，相對應的積是一定的，有這樣的關(guān)系：每小時(shí)加工零件的個(gè)數 × 加工的時(shí)間 = 零件的總個(gè)數（一定）。
所以每小時(shí)加工零件的個(gè)數和加工的時(shí)間成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
點(diǎn)評：判斷兩種量是不是成反比例，和正比例一樣，分三步：一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著(zhù)變化；滿(mǎn)足了前面兩個(gè)條件，再看它們的乘積是否一定，進(jìn)行判斷。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來(lái)表示：ｘｙ = K（一定）。
例6、（判斷是否成反比例）
總產(chǎn)量一定，每公頃的產(chǎn)量和公頃數是不是成反比例？為什么？
分析與解：根據反比例的意義，看兩個(gè)變量的乘積是否一定，如果兩個(gè)變量的積一定，那么這兩個(gè)變量就成反比例，反之，則不成反比例。
每公頃的產(chǎn)量和公頃數是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與總產(chǎn)量有下面的關(guān)系：
每公頃的產(chǎn)量 × 公頃數 = 總產(chǎn)量（一定）
所以每公頃的產(chǎn)量和公頃數成反比例。
例7、（辨析）和一定，一個(gè)加數和另一個(gè)加數成反比例。
分析與解：判斷兩個(gè)變量是否成反比例，關(guān)鍵是看兩個(gè)變量的乘積是否一定。很明顯，和一定，兩個(gè)加數的積是變化的，所以它們不成反比例。
和一定，一個(gè)加數和另一個(gè)加數不成反比例。因為它們的積不一定。
點(diǎn)評：有些相關(guān)聯(lián)的量，雖然也是一種量變化，另一種量也隨著(zhù)變化，但它們不是積一定，也 不是比值一定，它們就不成比例。像這樣的還有：人的跳高高度和身高；減數一定，被減數和差等。
例8、（綜合題1）
（1）長(cháng)方形的面積一定，長(cháng)和寬成反比例嗎？為什么？
（2）長(cháng)方形的周長(cháng)一定，長(cháng)和寬成反比例嗎？為什么？
分析與解：判斷時(shí)可以用列表的方式列舉數據，也可以根據計算的公式來(lái)推導。
（1）因為長(cháng)方形的長(cháng) × 寬 = 長(cháng)方形的面積（一定），所以長(cháng)和寬成反比例。
（2）長(cháng)方形的周長(cháng) = （長(cháng)+寬）× 2 ，長(cháng)方形的周長(cháng)一定，長(cháng)+寬的和一定，但不是積一定，所以長(cháng)和寬不成反比例。
例9、（綜合題2）
分別說(shuō)明大米的總千克數、每天吃的千克數和天數這三種量中，每?jì)煞N量的比例關(guān)系。
（1）大米的總千克數一定，每天吃的千克數和天數；
（2）每天吃的千克數一定，大米的總千克數和天數；
（3）天數一定，大米的總千克數和每天吃的千克數。
分析與解：在大米的總千克數、每天吃的千克數和天數這三種量中，當某一種量一定時(shí)，另外兩種量可能成正比例關(guān)系，也可能成反比例關(guān)系�？梢愿鶕䲠盗筷P(guān)系式來(lái)判斷。
（1）因為每天吃的千克數 × 天數 = 大米的總千克數（一定），所以大米的總千克數一定時(shí)，每天吃的千克數和天數成反比例。
（2）因為 = 每天吃的千克數（一定），所以每天吃的千克數一定時(shí)，大米的總千克數和天數成正比例。
（3）因為 = 天數（一定），所以天數一定時(shí)，大米的總千克數和每天吃的千克數成正比例。
小學(xué)數學(xué)總復習專(zhuān)題講解及訓練（八）
模擬試題
1、仔細觀(guān)察每張表格，思考表格中兩種量之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？為什么？
表格1
數量/本 1 3 6 8 10 20 ……
總價(jià)/元 4 12 24 32 40 80 ……
表格2
單價(jià)/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
總價(jià)/元 6 8 12 16 20 24 ……
表格3 用60元錢(qián)購買(mǎi)筆記本，筆記本的單價(jià)和可以購買(mǎi)的數量如下表：
單價(jià)/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
數量/本 40 30 20 15 12 10 ……
2、用一批紙裝訂練習本，每本25頁(yè)，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X頁(yè)。
題中（ ）量一定，關(guān)系式：（ ）○（ ）＝（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。
3、一間會(huì )客室地面用邊長(cháng)0.3米的正方形地磚鋪，需要640塊。如果改用邊長(cháng)0.4米的正方形地磚，需要Y塊。
題中（ ）量一定，關(guān)系式：（ ）○（ ）＝（ ）（一定），（ ）和（ ）成（ ）比例。
4、在圓柱的側面積、底面周長(cháng)、高這三種量中
當底面周長(cháng)一定時(shí)，（ ）與（ ）成（ ）比例；
當高一定時(shí)，（ ）與（ ）成（ ）比例；
當側面積一定時(shí)，（ ）與（ ）成（ ）比例。
5、在被除數、除數、商這三種量中，
當（ ）一定時(shí)，（ ）與（ ）成正比例；
當（ ）一定時(shí)，（ ）與（ ）成反比例；
6、當 a × b ＝ c（ a、b、c 為三種量，且均不為0）。
( )一定，（ ）與（ ）成（ ）比例；
（ ）一定，（ ）與（ ）成（ ）比例；
（ ）一定，（ ）與（ ）成（ ）比例；
7、判斷。
（1）、工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例。（ ）
（2）、圖上距離和實(shí)際距離成正比例。（ ）
（3）、X和Y表示兩種變化的相關(guān)聯(lián)的量，同時(shí)5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（ ）
（4）、分數的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ）
（5）、在一定的距離內，車(chē)輪周長(cháng)和它轉動(dòng)的圈數成反比例。 （ ）
（6）、兩種相關(guān)聯(lián)的量，不成正比例，就成反比例。 （ ）
（7）訂閱《小學(xué)數學(xué)評價(jià)手冊》的份數與所需錢(qián)數成正比例。 ( )
（8）在400米賽跑中，跑步的速度和所用時(shí)間成反比例。 ( )
（9）工作總量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( )
（10）正方體的棱長(cháng)和體積成正比例。 ( )
（11）被除數一定，除數和商成反比例。 ( )
（12）圓的周長(cháng)和它的直徑成正比例。 ( )
8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）、裝配一批電視機，每天裝配臺數和所需的天數（ ）。
（2）、正方形的邊長(cháng)和周長(cháng)（ ）。
（3）、水池的容積一定，水管每小時(shí)注水量和所用時(shí)間（ ）。
（4）、房間面積一定，每塊磚的面積和鋪磚的塊數（ ）。
（5）、在一定時(shí)間里，加工每個(gè)零件所用的時(shí)間和加工零件的個(gè)數（ ）。
（6）、在一定時(shí)間里，每小時(shí)加工零件的個(gè)數和加工零件的個(gè)數（ ）。
9、思考：明明三歲時(shí)體重12千克，十一歲時(shí)體重44千克。于是小張就說(shuō)：“明明的體重和身高成正比例�！蹦阏J為小張的說(shuō)法對嗎？為什么？
10、某造紙廠(chǎng)每小時(shí)造紙1.5噸，2小時(shí)、3小時(shí)┈┈各造紙多少?lài)崳?/p>
（1）把下表填寫(xiě)完整。
造紙時(shí)間/時(shí) 1 2 3 4 ……
造紙噸數/噸 1.5 ……
（2）根據表中的數據，在下圖中描出造紙時(shí)間和造紙噸數對應的點(diǎn)，再把它們連起來(lái)。 噸數/噸
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 時(shí)間/時(shí)
（3）造紙噸數與造紙時(shí)間成正比例嗎？為什么？
（4）根據圖像判斷， 5小時(shí)造紙多少?lài)崳?/p>
參考答案：
1、仔細觀(guān)察每張表格，思考表格中兩種量之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？為什么？
表格1
數量/本 1 3 6 8 10 20 ……
總價(jià)/元 4 12 24 32 40 80 ……
= 4， = 4， = 4 ……
因為 = 單價(jià)（一定），所以單價(jià)一定時(shí)，總價(jià)和數量成正比例。
表格2
單價(jià)/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
總價(jià)/元 6 8 12 16 20 24 ……
= 4， = 4， = 4 ……
因為 = 數量（一定），所以數量一定時(shí)，總價(jià)和單價(jià)成正比例。
表格3 用60元錢(qián)購買(mǎi)筆記本，筆記本的單價(jià)和可以購買(mǎi)的數量如下表：
單價(jià)/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
數量/本 40 30 20 15 12 10 ……
1.5 × 40 = 60 ，2 × 30 = 60 ，4 × 15 = 60 ……
因為單價(jià) × 數量 = 總價(jià)（一定），所以總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和數量成反比例。
2、用一批紙裝訂練習本，每本25頁(yè)，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X頁(yè)。
題中（ 紙的總頁(yè)數 ）量一定，關(guān)系式：（ 每本頁(yè)數 ） × （ 裝訂本數 ）＝（ 紙的總頁(yè)數 ）（一定），（ 每本頁(yè)數 ）和（ 裝訂本數 ）成（ 反 ）比例。
3、一間會(huì )客室地面用邊長(cháng)0.3米的正方形地磚鋪，需要640塊。如果改用邊長(cháng)0.4米的正方形地磚，需要Y塊。
題中（ 會(huì )客室地面面積 ）量一定，關(guān)系式：（ 每塊磚的面積 ）×（ 磚的塊數 ）＝（ 會(huì )客室地面面積 ）（一定），（ 每塊磚的面積 ）和（ 磚的塊數 ）成（ 反 ）比例。
4、在圓柱的側面積、底面周長(cháng)、高這三種量中
當底面周長(cháng)一定時(shí)，（ 側面積 ）與（ 高 ）成（正）比例；
當高一定時(shí)，（ 側面積 ）與（ 底面周長(cháng) ）成（正）比例；
當側面積一定時(shí)，（ 底面周長(cháng) ）與（ 高 ）成（ 反 ）比例。
5、在被除數、除數、商這三種量中，
當（ 除數 ）一定時(shí)，（ 被除數 ）與（ 商 ）成正比例；
當（ 被除數 ）一定時(shí)，（ 除數 ）與（ 商 ）成反比例；
6、當 a × b ＝ c（ a、b、c 為三種量，且均不為0）。
( c )一定，（ a ）與（ b ）成（ 反 ）比例；
（ a ）一定，（ c ）與（ b ）成（ 正 ）比例；
（ b ）一定，（ c ）與（ a ）成（ 正 ）比例；
7、判斷。
（1）、工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例。 （ √ ）
（2）、圖上距離和實(shí)際距離成正比例。 （ × ）
（3）、X和Y表示兩種變化的相關(guān)聯(lián)的量，同時(shí)5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（ × ）
（4）、分數的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ √ ）
（5）、在一定的距離內，車(chē)輪周長(cháng)和它轉動(dòng)的圈數成反比例。 （ √ ）
（6）、兩種相關(guān)聯(lián)的量，不成正比例，就成反比例。 （ × ）
（7）訂閱《小學(xué)數學(xué)評價(jià)手冊》的份數與所需錢(qián)數成正比例。 ( √ )
（8）在400米賽跑中，跑步的速度和所用時(shí)間成反比例。 ( √ )
（9）工作總量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( × )
（10）正方體的棱長(cháng)和體積成正比例。 ( × )
（11）被除數一定，除數和商成反比例。 ( √ )
（12）圓的周長(cháng)和它的直徑成正比例。 ( √ )
8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）、裝配一批電視機，每天裝配臺數和所需的天數（ 反比例 ）。
（2）、正方形的邊長(cháng)和周長(cháng)（ 正比例 ）。
（3）、水池的容積一定，水管每小時(shí)注水量和所用時(shí)間（ 反比例 ）。
（4）、房間面積一定，每塊磚的面積和鋪磚的塊數（ 反比例 ）。
（5）、在一定時(shí)間里，加工每個(gè)零件所用的時(shí)間和加工零件的個(gè)數（ 反比例 ）。
（6）、在一定時(shí)間里，每小時(shí)加工零件的個(gè)數和加工零件的個(gè)數（ 正比例 ）。
9、思考：明明三歲時(shí)體重12千克，十一歲時(shí)體重44千克。于是小張就說(shuō)：“明明的體重和身高成正比例�！蹦阏J為小張的說(shuō)法對嗎？為什么？
答：小張的說(shuō)法是錯誤的，體重和身高不是兩種相關(guān)聯(lián)的量，體重和身高不成比例。
10、某造紙廠(chǎng)每小時(shí)造紙1.5噸，2小時(shí)、3小時(shí)┈┈各造紙多少?lài)崳?/p>
（1）把下表填寫(xiě)完整。
造紙時(shí)間/時(shí) 1 2 3 4 ……
造紙噸數/噸 1.5 3 4.5 6 ……
（2）根據表中的數據，在下圖中描出造紙時(shí)間和造紙噸數對應的點(diǎn)，再把它們連起來(lái)。 噸數/噸
6 ●
5
4
3 ●
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 時(shí)間/時(shí)
（3）造紙噸數與造紙時(shí)間成正比例嗎？為什么？
因為 = 每小時(shí)造紙噸數（一定），所以每小時(shí)造紙噸數一定時(shí)，造紙噸數與造紙時(shí)間成正比例。
（4）根據圖像判斷，5小時(shí)造紙多少?lài)崳?/p>
根據圖像判斷，5小時(shí)造紙7.5噸