（一）教學(xué)目標
1. 使學(xué)生掌握因數、倍數、質(zhì)數、合數等概念，知道有關(guān)概念之間的聯(lián)系和區別。
2. 使學(xué)生通過(guò)自主探索，掌握2、5、3的倍數的特征。
3. 逐步培養學(xué)生的數學(xué)抽象能力。
（二）教材說(shuō)明和教學(xué)建議
教材說(shuō)明
通過(guò)四年多的數學(xué)學(xué)習，學(xué)生已經(jīng)掌握了大量的整數知識（包括整數的認識、整數四則運算），本單元讓學(xué)生在前面所學(xué)的整數知識基礎上，進(jìn)一步探索整數的性質(zhì)。本單元涉及到的因數、倍數、質(zhì)數、合數以及第四單元中的最大公因數、最小公倍數都屬于初等數論的基本內容。數論是一個(gè)歷史悠久的數學(xué)分支，它是研究整數的性質(zhì)的一門(mén)學(xué)問(wèn)，以嚴格、簡(jiǎn)潔、抽象著(zhù)稱(chēng)。數學(xué)一直被認為是“科學(xué)的皇后”，而數論則更被譽(yù)為“數學(xué)的皇后”，可見(jiàn)數論在數學(xué)中的地位。本單元的知識作為數論知識的初步，一直是小學(xué)數學(xué)教材中的重要內容。通過(guò)這部分內容的學(xué)習，可以使學(xué)生獲得一些有關(guān)整數的知識，另一方面，有助于發(fā)展他們的抽象思維。
在數論中，數的整除性理論又是最為基本的理論，本單元的所有概念都是建立在數的整除性的基礎之上。對于任意整數a、b，都存在整數n、r，使b＝na＋r（其中r＜a），當r＝0時(shí)，我們就說(shuō)b能被a整除（或a能整除b），此時(shí)，b＝na。其他的一些概念，如因數、倍數等，都是以此為基礎的。
在以往的數學(xué)教材中，也一直把“數的整除”概念編排在這一單元的起始位置，再把因數（以往的教材中稱(chēng)為約數），倍數，2、5、3的倍數的特征（以往的教材稱(chēng)為能被2、5、3整除的數的特征），質(zhì)數，合數，分解質(zhì)因數，最大公因數（以往的教材中稱(chēng)為最大公約數），最小公倍數等內容共同編排在后面，合為一個(gè)單元。這樣編排，雖然突顯了以上這些概念的緊密邏輯關(guān)系，但也形成了同一單元內概念多而集中、抽象程度過(guò)高的現象，學(xué)生在學(xué)習時(shí)經(jīng)常出現概念混淆、理解困難的問(wèn)題。因此，與以往教材相比，本套實(shí)驗教材在編寫(xiě)時(shí)，對這部分內容進(jìn)行了以下幾方面的調整。
1. 我們在本單元研究的都是整除現象，因此，可以說(shuō)整除概念是貫穿這部分教材的一條主線(xiàn)。但“整除”這一詞匯是否必須出現呢？讓學(xué)生大量敘述“×能被×整除”“×能整除×”是否必要？簽于學(xué)生在前面已經(jīng)具備了大量的區分整除與有余數除法的知識基礎，對整除的含義已經(jīng)有了比較清楚的認識，不出現整除的定義并不會(huì )對學(xué)生理解其他概念產(chǎn)生任何影響。因此，本套教材中刪去了“整除”的數學(xué)化定義，而是借助整除的模式na＝b直接引出因數和倍數的概念。
2. 在以往的教材中，由于求最大公因數、最小公倍數時(shí)，采用的方法是唯一的、固定的，也就是用短除法分解質(zhì)因數的方法。因此，作為求最大公因數、最小公倍數的必要基礎，“分解質(zhì)因數”一直作為必學(xué)內容編排。而在本冊教材中，由于允許學(xué)生采用多樣的方法求最大公因數和最小公倍數，分解質(zhì)因數也失去了其不可或缺的作用，同時(shí)，也是為了減少這一單元的理論概念，教材不再把它作為正式教學(xué)內容，而是作為一個(gè)補充知識，安排在“你知道嗎？”中進(jìn)行介紹。
3. 公因數、最大公因數和公倍數、最小公倍數概念的建立是以因數、倍數的概念為基礎的，也是為后面學(xué)習約分（需要盡快找出分子、分母的公因數）、通分（需要盡快找出兩個(gè)分數分母的公倍數）做準備的，在整個(gè)知識鏈中起著(zhù)承上啟下的作用。這兩個(gè)內容可以集中編排在本單元，也可以分散編排在約分、通分的前面�？紤]到本單元概念較多，抽象程度高，本套教材把這兩部分內容分散編排在第四單元，也更加突出了它們的應用性。
教學(xué)建議
1. 由于這部分內容較為抽象，很難結合生活實(shí)例或具體情境來(lái)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生理解起來(lái)有一定的難度。在過(guò)去的教學(xué)中，一些教師往往忽視概念的本質(zhì)，而是讓學(xué)生死記硬背相關(guān)概念或結論，學(xué)生無(wú)法理清各概念間的前后承接關(guān)系，達不到融會(huì )貫通的程度。再加上有些教師在考核時(shí)使用一些偏題、難題，導致學(xué)生在學(xué)習這部分知識時(shí)覺(jué)得枯燥乏味，體會(huì )不到初等數論的抽象性、嚴密性和邏輯性，感受不到數學(xué)的魅力。為了克服以上教學(xué)中出現的問(wèn)題，應注意以下兩點(diǎn)。
（1）加強對概念間相互關(guān)系的梳理，引導學(xué)生從本質(zhì)上理解概念，避免死記硬背。本單元中因數和倍數是最基本的兩個(gè)概念，理解了因數和倍數的含義，對于一個(gè)數的因數的個(gè)數是有限的、倍數的個(gè)數是無(wú)限的等結論自然也就掌握了，對于后面的公因數、公倍數等概念的理解也是水到渠成。要引導學(xué)生用聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)去掌握這些知識，而不是機械地記憶一堆支離破碎、毫無(wú)關(guān)聯(lián)的概念和結論。
（2）由于本單元知識特有的抽象性，教學(xué)時(shí)要注意培養學(xué)生的抽象思維能力。雖然我們強調從生活的角度引出數學(xué)知識，但數論本身就是研究整數性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科，有時(shí)不太容易與具體情境結合起來(lái)，如質(zhì)數、合數等概念，很難從生活實(shí)際中引入。而學(xué)生到了五年級，抽象能力已經(jīng)有了進(jìn)一步發(fā)展，有意識地培養他們的抽象概括能力也是很有必要的，如讓學(xué)生通過(guò)幾個(gè)特殊的例子，自行總結出任何一個(gè)數的倍數個(gè)數都是無(wú)限的，逐步形成從特殊到一般的歸納推理能力，等等。
2. 這部分內容可以用6課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。
（三）各小節的教材說(shuō)明和教學(xué)建議
1. 因數和倍數
（第12～16頁(yè)）
教材說(shuō)明
這部分教材首先介紹了因數和倍數的概念，然后在例1和例2分別介紹了求一個(gè)數的因數和倍數的方法。
1. 因數和倍數。
編寫(xiě)意圖
本單元在引入因數和倍數的概念時(shí)與以往的教材有所不同。在以往的教材中，都是通過(guò)除法算式來(lái)引出整除的概念，每個(gè)除法算式對應著(zhù)一對有整除關(guān)系的數，如b÷a＝n表示b能被a整除，b÷n＝a表示b能被n整除。在此基礎上再引出因數和倍數的概念。實(shí)際上，如前所述，由于乘除法本身就存在著(zhù)互逆關(guān)系，用乘法算式（如b＝na）同樣可以表示整除的含義。因此，本套教材中沒(méi)有用數學(xué)化的語(yǔ)言給“整除”下定義，而是利用一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)物圖（2行飛機，每行6架）引出一個(gè)乘法算式2×6＝12，通過(guò)這個(gè)乘法算式直接給出因數和倍數的概念。這樣，學(xué)生不必通過(guò)12÷2＝6得出12能被2整除，進(jìn)而2是12的因數，12是2的倍數。再通過(guò)12÷6＝2得出12能被6整除，進(jìn)而6是12的因數，12是6的倍數，大大簡(jiǎn)化了敘述和記憶的過(guò)程。在這兒，用一個(gè)乘法算式2×6＝12可以同時(shí)說(shuō)明“2和6都是12的因數，12是2的倍數，也是6的倍數�！�
接著(zhù)，通過(guò)3×4＝12，進(jìn)一步鞏固因數和倍數的概念。在學(xué)生熟練掌握了因數和倍數的概念以后，教材讓學(xué)生試著(zhù)找出12的其他因數，引導學(xué)生寫(xiě)出兩個(gè)數的積等于12的另一個(gè)乘法算式1×12＝12，從而得出1和12也是12的因數。
最后，教材對整數0進(jìn)行特殊說(shuō)明，以明確本單元中數的研究范圍。因為數論只研究整數的性質(zhì)，所以，本單元中涉及到的數都是整數。由于學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習負整數，因此，本單元的整數與自然數同義。根據因數和倍數的定義，0是任何非零自然數的倍數，任何非零自然數都是0的因數。但是考慮到以后研究最大公因數和最小公倍數時(shí)，如果不排除0，很多問(wèn)題無(wú)從討論，如討論0和5的最大公因數既沒(méi)有實(shí)際意義，也沒(méi)有數學(xué)意義，再如，如果把0考慮在內，任意兩個(gè)自然數的最小公倍數就是0，這樣的研究沒(méi)有任何價(jià)值。因此，教材指出本單元研究的內容一般不包括0，這樣就避免了一些不必要的麻煩。
教學(xué)建議
教學(xué)因數和倍數概念時(shí)，可以結合教材上的直觀(guān)圖（2行飛機，每行6架）引導學(xué)生列出乘法算式2×6=12或6×2=12，再根據所列的乘法算式直接給出因數和倍數的概念。接下來(lái)，再結合直觀(guān)圖（3行飛機，每行4架）進(jìn)一步鞏固因數和倍數的概念。最后，讓學(xué)生脫離情境圖，想一想12還有哪些因數，引導學(xué)生列出乘法算式1×12=12或12×1=12，概括出“1和12都是12的因數，12是1和它本身的倍數”。在此基礎上，教師可以引導學(xué)生利用一般的乘法算式a×b=c歸納出因數和倍數的概念：a、b都是c的因數，c是a和b的倍數。
教學(xué)時(shí)，應注意以下四點(diǎn)：（1）雖然本套教材不是從過(guò)去的整除定義（形式上是除法算式）出發(fā)，而是通過(guò)一個(gè)乘法算式來(lái)引出因數和倍數概念，但在本質(zhì)上仍是以“整除”為基礎，只是略去了許多中間描述。因此，要注意，只有在這個(gè)乘法算式中的因數和積都是整數的情況下才能討論因數和倍數的概念。教學(xué)時(shí)，教師也可以舉出一些反例加以說(shuō)明，如5×0.8＝4，雖然等式成立，但不能說(shuō)5和0.8是4的因數，或4是5和0.8的倍數。（2）因數和倍數是一對相互依存的概念，不能單獨存在。a是b的因數，反過(guò)來(lái)b就是a的倍數，因此，描述因數或倍數時(shí)必須說(shuō)清楚誰(shuí)是誰(shuí)的因數（或倍數），要引導學(xué)生使用比較規范的語(yǔ)言，如“2是12的因數，12是2的倍數”而不是“2是因數，12是倍數”，在課堂上或練習中學(xué)生如果出現類(lèi)似的錯誤要及時(shí)加以糾正。（3）要注意區分乘法算式各部分名稱(chēng)中的“因數”和本單元中的“因數”的聯(lián)系和區別。在同一個(gè)乘法算式中，兩者都是指乘號兩邊的整數，但前者是相對于“積”而言的，與“乘數”同義，可以是小數，而后者是相對于“倍數”而言的，與以前所說(shuō)的“約數”同義，說(shuō)“×是×的因數”時(shí)，兩者都只能是整數。（4）要注意區分“倍數”與前面學(xué)過(guò)的“倍”的聯(lián)系與區別�！氨丁钡母拍畋取氨稊怠币獜V，如我們可以說(shuō)“15是3的5倍”，也可以說(shuō)“1.5是0.3的5倍”，但我們只能說(shuō)“15是3的倍數”，卻不能說(shuō)“1.5是0.3的倍數”。我們在求一個(gè)數的倍數時(shí)，運用的方法與“求一個(gè)數的幾倍是多少”是相同的，只是這里的“幾倍”都是指整數倍。
2. 例1。
編寫(xiě)意圖
例1是教學(xué)一個(gè)數的因數的求法。教材直接提出問(wèn)題“18可以由哪兩個(gè)數相乘得到？”引導學(xué)生利用因數的概念來(lái)求18的因數。在這里，每列出一個(gè)乘法算式，就可以求出18的一對因數，只要學(xué)生有序地寫(xiě)出兩個(gè)數的乘積是18的所有乘法算式，就可以把因數找全。在此基礎上，再用集合圖表示出一個(gè)數的全部因數，為后面用交集形式表示兩個(gè)數的公因數打下基礎，使學(xué)生初步體會(huì )到一個(gè)數的因數的個(gè)數是有限的。
接下來(lái)，通過(guò)“做一做”進(jìn)一步鞏固求一個(gè)數的因數的方法。
最后，以例1和“做一做”為基礎，引導學(xué)生抽象地概括出一個(gè)數的最小因數和最大因數分別是什么，總結出一個(gè)數的因數的個(gè)數是有限的結論，向學(xué)生滲透從個(gè)別到全體、從具體到一般的抽象歸納的思想方法。
教學(xué)建議
教學(xué)例1時(shí)，要引導學(xué)生從因數的概念出發(fā)去求18的因數，也就是想：哪兩個(gè)整數相乘的積是18？從每個(gè)滿(mǎn)足條件的乘法算式中可以找出18的一對因數。找的時(shí)候，要引導學(xué)生有序地思考。教學(xué)時(shí)，如果學(xué)生用除法思考，固定被除數18，改變除數，看除得的商是不是整數，如果是，則除數和商都是被除數的因數，這樣的思考方法也是應該鼓勵的。等學(xué)生把18的所有因數都寫(xiě)出來(lái)，再讓他們用集合的形式表示出來(lái)，為后面求兩個(gè)數的公因數做準備。
然后，讓學(xué)生做“做一做”的題目。通過(guò)例1和“做一做”的練習，引導學(xué)生觀(guān)察到每個(gè)數的最小因數是1，而最大因數是它本身，因此，它的因數的個(gè)數是有限的。
3. 例2。
編寫(xiě)意圖
例2是教學(xué)一個(gè)數的倍數的求法。根據一個(gè)數的倍數的定義，可知該數和任意非零自然數之積都是該數的倍數。因此，2的倍數也就是2和任意非零自然數的乘積，學(xué)生在列乘法算式時(shí)就會(huì )發(fā)現這樣的算式是列不完的，因此，2的倍數的個(gè)數是無(wú)限的。接下來(lái)，也用集合圖表示出2的倍數，為后面學(xué)習用交集表示兩個(gè)數的公倍數打下基礎。
“做一做”中分別安排了讓學(xué)生求3、5的倍數的練習，一方面鞏固了對倍數概念的理解，另一方面，結合例2中2的倍數，為后面學(xué)習2、3、5的倍數的特征做準備。
最后，與例1的編排相類(lèi)似，教材通過(guò)求以上幾個(gè)數的倍數，使學(xué)生總結出：一個(gè)數的倍數的個(gè)數是無(wú)限的，只有最小的倍數，沒(méi)有最大的倍數，為后面學(xué)習最小公倍數打下基礎。
教材還用“你知道嗎？”介紹了完全數的概念，以豐富學(xué)生的數論知識，引導學(xué)生在課余時(shí)間探索完全數的性質(zhì)，也可以先求出教材上提供的幾個(gè)數的因數，然后驗證是否符合完全數的定義。
教學(xué)建議
教學(xué)例2時(shí)，可以參照例1的方法進(jìn)行教學(xué)。在找一個(gè)數的倍數時(shí)，要引導學(xué)生從“這個(gè)數的整數倍”考慮，因此，可以從最小的倍數找起。學(xué)生找出了幾個(gè)2的倍數以后，教師可以提問(wèn)2的倍數有多少個(gè)，引導學(xué)生通過(guò)想自然數的個(gè)數是無(wú)限的，進(jìn)而想到2的自然數倍也是無(wú)限的，無(wú)法一一羅列，可以用省略號表示。在用集合圖表示2的倍數時(shí)，也要注意提醒學(xué)生在集合圈里寫(xiě)出省略號。然后在完成“做一做”的基礎上，引導學(xué)生觀(guān)察并思考：一個(gè)數的最小倍數是幾？有沒(méi)有最大的倍數？引導學(xué)生自主得出結論。
4. 關(guān)于練習二中一些習題的說(shuō)明和教學(xué)建議。
第2題，讓學(xué)生分別找出36和60的因數，在學(xué)生完成題目后，教師可以有意識地讓學(xué)生觀(guān)察一下有哪些數是這兩個(gè)數共同的因數，這些共同因數中最大的是什么，為后面學(xué)習“公因數”和“最大公因數”做準備。
第3題，讓學(xué)生分別找出8和9的倍數，在學(xué)生完成題目后，教師可以有意識地讓學(xué)生觀(guān)察一下有哪些數是這兩個(gè)數共同的倍數，這些共同倍數中最小的是什么，為后面學(xué)習“公倍數”“最小公倍數”“互質(zhì)的兩個(gè)數的最小公倍數是它們的乘積”等知識做準備。
第5題，幫助學(xué)生辨析某些概念。如說(shuō)因數和倍數時(shí)，必須說(shuō)清楚誰(shuí)是誰(shuí)的因數（或倍數）。再如，任何一個(gè)非零自然數的倍數的個(gè)數都是無(wú)限的，任何非零自然數都有因數1，等等。
第6題，通過(guò)猜數游戲鞏固因數和倍數的概念，第（1）題，使學(xué)生認識到，隨著(zhù)限制條件的增多，符合條件的數越來(lái)越少。實(shí)際上，題目中共有四個(gè)限制條件，先看42的因數有1、2、3、6、7、14、21、42，其中只有7、14、21、42是7的倍數，這四個(gè)數中只有14和42是2的倍數，其中只有42才是3的倍數，所以，符合條件的數只有42。第（2）、（3）題，都使學(xué)生進(jìn)一步理解一個(gè)數的最大因數和最小倍數都是它本身。
第16頁(yè)的思考題，是通過(guò)兩個(gè)特殊的例子，引導學(xué)生通過(guò)不完全歸納，總結出以下的結論：如果兩個(gè)數都是一個(gè)數的倍數，那么這兩個(gè)數的和也是這個(gè)數的倍數。還可以引導學(xué)生用數學(xué)化的方式對這個(gè)結論加以證明：如果B是A的倍數，那么必然存在一個(gè)整數m，使B＝Am，如果C也是A的倍數，那么必然存在一個(gè)整數n，使C＝An，那么B＋C＝Am＋An＝A（m＋n），因此，B＋C也是A的倍數。這個(gè)結論還可以進(jìn)一步擴展：如果有n個(gè)數都是一個(gè)數的倍數，那么這n個(gè)數的和也是這個(gè)數的倍數。
2. 2、5、3的倍數的特征
（第17～22頁(yè)）
這部分內容是在因數、倍數的基礎上進(jìn)行教學(xué)的，是求最大公因數、最小公倍數的重要基礎，從而也是學(xué)習約分和通分的必要前提。學(xué)生的分數運算是否熟練，取決于約分和通分掌握得是否熟練，而約分和通分是否熟練，在很大程度上取決于能不能很快地根據分子、分母的特征看出分子和分母有什么公因數，能不能很快地求出幾個(gè)分數的分母的公倍數。因此，熟練掌握2、5、3的倍數的特征，具有十分重要的意義。
教材先教學(xué)2、5的倍數的特征，再教學(xué)3的倍數的特征。因為2、5的倍數的特征僅僅體現在個(gè)位上的數，比較明顯，容易理解。而3的倍數的特征，不能只從個(gè)位上的數來(lái)判定，必須把其各位上的數相加，看所得的和是否為3的倍數來(lái)判定，學(xué)生理解起來(lái)有一定的困難，因此把它放在2、5的倍數的特征后面教學(xué)。
1. 2的倍數的特征。
編寫(xiě)意圖
教材從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和知識基礎出發(fā)，通過(guò)電影院里“雙號”的概念，使學(xué)生利用因數和倍數的概念，判斷出這些“雙數”都是2的倍數。然后引導學(xué)生觀(guān)察這些座位號的個(gè)位上的數的特點(diǎn)，進(jìn)而概括出2的倍數的特征。
在學(xué)生總結了2的倍數的特征的基礎上，教材又介紹了偶數和奇數的概念。
教學(xué)建議
教學(xué)時(shí)，可以先讓學(xué)生觀(guān)察情境圖，并聯(lián)想在生活中哪兒還見(jiàn)過(guò)雙數、單數，如街道或胡同一邊的門(mén)牌號是雙數，另一邊是單數。接下來(lái)，讓學(xué)生思考：為什么這些數稱(chēng)為雙數？它們和2有什么聯(lián)系？（學(xué)生在生活中已經(jīng)具備了“雙”即為“2個(gè)”的經(jīng)驗。）引導學(xué)生列出它們與2的倍數關(guān)系，說(shuō)明這些數都是2的倍數。也可以讓學(xué)生聯(lián)系前面學(xué)過(guò)的2的倍數的求法，說(shuō)出若干個(gè)2的倍數。在此基礎上，引導學(xué)生通過(guò)觀(guān)察，發(fā)現這些數的個(gè)位上都是0、2、4、6、8，從而形成猜想：所有2的倍數的個(gè)位上都是0、2、4、6、8。因此，判斷一個(gè)數是不是2的倍數，只要看這個(gè)數的個(gè)位上是什么數就可以了。接下來(lái)，可以讓學(xué)生舉出一些數（包括比較大的數，如1045、8394）進(jìn)行驗證。由于2的倍數的個(gè)數是無(wú)限的，無(wú)法一一驗證，在這兒，只要學(xué)生通過(guò)觀(guān)察有限個(gè)2的倍數的特征，總結出所有2的倍數的特征就可以了，不要求嚴格的數學(xué)證明（見(jiàn)參考資料）。
接下來(lái)，介紹偶數和奇數的概念。我們在這個(gè)單元中一般不考慮0，在這兒需要作一個(gè)特殊說(shuō)明，因為0也是2的倍數，因此0也是偶數。學(xué)生掌握了偶數和奇數的定義后，教師可以給出一些數，讓學(xué)生判斷它們是奇數還是偶數，也可以讓學(xué)生再舉出一些偶數和奇數。在此基礎上，可以引導學(xué)生將2的倍數的特征表示為“個(gè)位上是偶數的都是2的倍數”。
2. 5的倍數的特征。
編寫(xiě)意圖
編排方式與2的倍數的特征相似，也是通過(guò)實(shí)際情境引入，讓學(xué)生在觀(guān)察5的倍數的個(gè)位上的數的特點(diǎn)基礎上概括出5的倍數的特征。
教學(xué)建議
教學(xué)時(shí)，可以參照2的倍數的特征的教法進(jìn)行。完成“做一做”的題目時(shí)，可以使學(xué)生初步感受公倍數的概念，并引導學(xué)生總結出：如果一個(gè)數既是2的倍數又是5的倍數，那它必定是10的倍數，也就是末尾有0的數（0除外）。
3. 3的倍數的特征。
編寫(xiě)意圖
更加突出學(xué)生的自主探索，使學(xué)生在觀(guān)察--猜想--推翻猜想--再觀(guān)察--再猜想--驗證的過(guò)程中，概括出3的倍數的特征。教材上通過(guò)逐步增加提示的方式，減緩學(xué)生在概括時(shí)的思考難度。
教學(xué)建議
教學(xué)時(shí)，要引導學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、猜測、驗證的完整過(guò)程。由于學(xué)生在概括2和5的倍數的特征時(shí)，只注意到了個(gè)位數，因此，學(xué)生在概括3的倍數時(shí)，也會(huì )很自然地尋找個(gè)位上的數的特征。但通過(guò)觀(guān)察，發(fā)現這些數的個(gè)位上的數有的是3的倍數，有的不是，于是產(chǎn)生認知沖突。接下來(lái)，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步提示，引導學(xué)生觀(guān)察各位上數的和，發(fā)現各位上數的和是3的倍數。于是，形成新的猜想：一個(gè)數如果是3的倍數，那么它各位上數的和也是3的倍數。為了驗證這一猜想，可以補充一些其他的數，如49×3＝147，166×3＝498等，使學(xué)生進(jìn)一步確認這一結論的正確性。還可以任意寫(xiě)一個(gè)數，利用這一結論來(lái)驗證，如3697，3＋6＋9＋7＝25，25不是3的倍數，而3697÷3也不能得到整數商，因此，它不是3的倍數。通過(guò)這樣的方式也使學(xué)生認識到：找出某個(gè)規律后，還要找出一些正面的、反面的例子進(jìn)行檢驗，看是不是普遍適用。
為了使學(xué)生更好地掌握3的倍數的特征，進(jìn)行課堂練習時(shí)，還可以把一些數各個(gè)數位上的數經(jīng)過(guò)不同的排列，再讓學(xué)生判斷，以加深對“各位上數的和是3的倍數”的理解。如完成“做一做”第1題時(shí)，學(xué)生判斷完45是3的倍數后，教師可以再讓學(xué)生判斷一下54是不是3的倍數。
完成“做一做”第2題時(shí)，要引導學(xué)生有序地思考問(wèn)題。第18頁(yè)的“做一做”已經(jīng)有所鋪墊，學(xué)生已經(jīng)知道只有末尾是0的數才能同時(shí)是2和5的倍數，而此題中所求的數又是一個(gè)三位數，所以，就要從幾百幾十中找這樣的數，這樣，每增加一個(gè)條件，符合條件的數的范圍就縮小一些，通過(guò)層層“篩選”，求出符合條件的數是120。
利用2、5、3的倍數的特征來(lái)判斷一個(gè)數是不是2、5或3的倍數，其方法是比較容易掌握的，但要形成較好的數感，達到熟練判斷的程度，也不是一、兩節課所能解決的，還需要進(jìn)行較多的練習進(jìn)行鞏固。
4. 關(guān)于練習三中一些習題的說(shuō)明和教學(xué)建議。
第2題，是讓學(xué)生尋找生活中的奇數和偶數，應鼓勵學(xué)生盡量多地發(fā)現身邊的數學(xué)信息，如住幾號樓，公共汽車(chē)是幾路的，全村有幾戶(hù)人家，全班有多少人，等等。有了這些數據后，還可以在后面的練習中進(jìn)一步判斷它們是不是2、5、3的倍數。
第5題，是一個(gè)解決實(shí)際問(wèn)題的題目。由于媽媽買(mǎi)的是一些馬蹄蓮和郁金香，馬蹄蓮10元1枝，所以它的總價(jià)是10的倍數，也就是整十數，而郁金香是5元1枝，所以它的總價(jià)是5的倍數，個(gè)位上是0或5，兩者合起來(lái)的總價(jià)一定是幾十元或幾十五元，因此，服務(wù)員找的錢(qián)數不對。
第7題是開(kāi)放題，要運用3的倍數的特征來(lái)解決。如想“□7是3的倍數”，就要想“□＋7是3的倍數”，□中符合條件的數有2、5、8。
第8題也是開(kāi)放題，要找出一個(gè)偶數，同時(shí)又是3的倍數，可以先確定該數的個(gè)位上的數，再根據3的倍數的特征來(lái)確定其他位的數。而要找一個(gè)奇數，同時(shí)又是5的倍數，也是先確定個(gè)位上的數必須是5，其他數位上可以取任意數。
第10題，可以先把從4張卡片里取3張所能組成的所有三位數列出來(lái)：430、403、340、304，450、405、540、504，350、305、530、503，435、453、345、354、534、543。羅列的時(shí)候，要引導學(xué)生采用有序的思考方式，保證不重復、不遺漏。然后再分別看這些數屬于下面的哪一類(lèi)。也可以先根據下面各類(lèi)數的特點(diǎn)確定范圍，如這些數字能組成的偶數，個(gè)位數只能是0和4，那么相應的數就有430、340、350、530、450、540，304、504、354、534。再如，由于這4張卡片中的3個(gè)數相加之和是3的倍數的情況有4＋5＋0＝9，4+3+5=12，因此能組成的3的倍數有450、405、540、504；345、354、435、453、534、543。教學(xué)時(shí)，還可以把本題進(jìn)一步拓展，如讓學(xué)生思考用這4張卡片能組成的3的倍數中，一位數有哪些，兩位數、四位數呢？
第11*題，是讓學(xué)生進(jìn)一步探索偶數和奇數的性質(zhì)。練習時(shí)，可以讓學(xué)生結合具體的數來(lái)理解。
3. 質(zhì)數和合數
（第23～26頁(yè)）
在數論中，有關(guān)質(zhì)數和合數的理論一直吸引著(zhù)數學(xué)家們不斷探索。例如，我們已經(jīng)知道質(zhì)數的個(gè)數是無(wú)限的，但人們仍在不斷地尋找更大的質(zhì)數，1996年9月初美國的科學(xué)家找到了一個(gè)新的最大質(zhì)數（21257787-1）。再比如，1742年，德國數學(xué)家哥德巴赫提出了著(zhù)名的“哥德巴赫猜想”：任何大于2的偶數，都可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數之和，這一數學(xué)王冠上的明珠至今仍吸引著(zhù)無(wú)數人孜孜以求。因此，在質(zhì)數和合數的世界里充滿(mǎn)了神奇的數學(xué)魅力。
在小學(xué)階段，只是讓學(xué)生在因數、倍數的基礎上初步掌握質(zhì)數、合數的概念，為后面學(xué)習求最大公因數、最小公倍數以及約分、通分打下基礎。在本單元，要求學(xué)生能用自己的方法找出100以?xún)鹊馁|(zhì)數，并熟練判斷20以?xún)鹊臄的膫�(gè)是質(zhì)數，哪個(gè)是合數。
1. 質(zhì)數和合數。
編寫(xiě)意圖
教材首先讓學(xué)生找出1～20各數的全部因數，然后按照每個(gè)數的因數的個(gè)數進(jìn)行分類(lèi)。在此基礎上給出質(zhì)數、合數的概念。同時(shí)說(shuō)明1既不是質(zhì)數，也不是合數，以加深學(xué)生對某些特殊數的認識。
教學(xué)建議
教學(xué)時(shí)，可以先復習因數的概念，然后再讓學(xué)生找出1～20各數的所有因數，并引導學(xué)生觀(guān)察這些數的因數有什么不同，可以怎樣分類(lèi)。學(xué)生通過(guò)自主探索，會(huì )自覺(jué)地把這些數分成三類(lèi)：只有因數1的；只有1和它本身這兩個(gè)因數的；除了1和本身之外還有其他因數的。在分類(lèi)的基礎上，再引出質(zhì)數、合數的概念，說(shuō)明只有1和它本身兩個(gè)因數的數叫質(zhì)數，有兩個(gè)以上因數的數叫合數，1既不是質(zhì)數，也不是合數。學(xué)生掌握了質(zhì)數和合數的概念以后，教師可以出示幾個(gè)數，讓學(xué)生判斷是質(zhì)數還是合數，也可以由學(xué)生自己分別寫(xiě)出幾個(gè)質(zhì)數和幾個(gè)合數。
2. 例1。
編寫(xiě)意圖
本例讓學(xué)生運用質(zhì)數的概念找出100以?xún)鹊乃匈|(zhì)數。學(xué)生通過(guò)此例可以學(xué)會(huì )找質(zhì)數的一般方法“篩法”，即劃掉每個(gè)質(zhì)數的所有倍數（它本身除外），剩下的都是質(zhì)數。由于小學(xué)用到的質(zhì)數比較少，所以教材中只要求學(xué)生找出100以?xún)鹊馁|(zhì)數。這些質(zhì)數不必要求學(xué)生都背熟，但是熟悉20以?xún)鹊馁|(zhì)數還是有必要的。
分解質(zhì)因數的內容雖然不作為正式教學(xué)內容，但作為一種重要的方法技能，教材還是把它安排在“你知道嗎？”中進(jìn)行介紹，供學(xué)生閱讀參考。
教學(xué)建議
教學(xué)時(shí)，盡量采取讓學(xué)生自己完成任務(wù)的教學(xué)方式。學(xué)生在找100以?xún)鹊馁|(zhì)數時(shí)，所用的方法可能是多樣化的。例如，有的學(xué)生是先找每個(gè)數分別有幾個(gè)因數，然后再根據質(zhì)數和合數的意義進(jìn)行判斷。還有的學(xué)生采用的是“排除法”，因為質(zhì)數只有因數1和它本身，所以，每個(gè)質(zhì)數后面該質(zhì)數的所有倍數都是合數，如2是質(zhì)數，但是2的倍數（2本身除外）如4，6，8，10，…都是合數，3是質(zhì)數，它的倍數（3本身除外）如6，9，12，15，…也都是合數。因此，只要把所有質(zhì)數后面的倍數都劃去，剩下的就都是質(zhì)數了。劃完后，還可以讓學(xué)生體會(huì )一下劃到幾的倍數就可以了。由于自然數是無(wú)限的，所以質(zhì)數和合數也是無(wú)限的。本例中只要求學(xué)生列出100以?xún)鹊馁|(zhì)數表，這是因為較大的質(zhì)數不常用。但20以?xún)鹊馁|(zhì)數用得較多，最好應提醒學(xué)生逐步記住。
到本節教材為止，已經(jīng)出現了因數、倍數、奇數、偶數、質(zhì)數、合數等概念，有些概念學(xué)生容易混淆，如學(xué)生往往把質(zhì)數和奇數、合數和偶數混同起來(lái)，因此教學(xué)時(shí)應注意讓學(xué)生辨析這些概念。例如，可讓學(xué)生按照不同的標準對自然數進(jìn)行分類(lèi)，按是不是2的倍數可以把整數分成偶數和奇數兩類(lèi)，按約數的多少把非零自然數分成質(zhì)數、合數和1三類(lèi)。也可以結合學(xué)生自行整理的質(zhì)數表，讓學(xué)生觀(guān)察和思考：是不是所有的質(zhì)數都是奇數？引導學(xué)生舉出反例，如2是質(zhì)數，但它不是奇數；也不是所有的奇數都是質(zhì)數，如9、35都是奇數，但都不是質(zhì)數；也不是所有的偶數都是合數，如偶數2就不是合數。
3. 關(guān)于練習四中一些習題的說(shuō)明和教學(xué)建議。
第1題，主要是讓學(xué)生對一些概念進(jìn)一步加以區別。判斷時(shí)，要引導學(xué)生說(shuō)明理由或舉出反例。如第（3）小題，使學(xué)生進(jìn)一步記住1既不是質(zhì)數，也不是合數。第（4）小題，因為偶數2是質(zhì)數，它和其他質(zhì)數的和都是奇數，因此，題中的說(shuō)法不正確。
第3題，讓學(xué)生根據條件求數，要求學(xué)生對20以?xún)鹊馁|(zhì)數比較熟悉。如第1小題，可以先通過(guò)“兩個(gè)數的積是21”知道這兩個(gè)數是21的一對因數，這樣的因數只有3和7或1和21，而前者正好滿(mǎn)足3＋7=10且都是質(zhì)數。再如第2小題，滿(mǎn)足“兩個(gè)質(zhì)數之和是20”的有兩對質(zhì)數：3和17、7和13，而后者又同時(shí)滿(mǎn)足7×13=91。
第4題，是帶著(zhù)練習2、5、3的倍數的特征。
第5題，是用游戲的形式引出“哥德巴赫猜想”，使學(xué)生通過(guò)舉例的方式看到：大于2的偶數，可以表示為兩個(gè)質(zhì)數之和。但舉例只能舉出有限個(gè)，是不是所有大于2的偶數都滿(mǎn)足這一結論呢？從而引起學(xué)生繼續探求的興趣，也很自然地引出下面的閱讀材料。