3.下面算式中的每一個(gè)字母代表一個(gè)數字，相同的字母代表相同的數字，不同的
字母代表不同的數字。問(wèn)它們各代表什么數字時(shí)，算式成立？
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4.一個(gè)六位數 ABCDEF，各位上的數字均不相等，它乘以 3、乘以 5 分別是：
這個(gè)六位數是____。
七、三階幻方
在 3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重復又不遺漏地填上 1～9 這 9 個(gè)連
續的自然數，使每行、每列、每條對角線(xiàn)上的三個(gè)自然數的和均相等，通常這樣的圖
形叫做三階幻方。
如果是在 4×4（四行四列）的方格中進(jìn)行填數，就要不重不漏地在 4×4 方格中
填上 16 個(gè)連續的自然數，并且使方格的每行、每列及每條對角線(xiàn)上的四個(gè)自然數之和
均相等，這樣填出的圖形就叫做四階幻方。
幻方實(shí)際上就是一種填數游戲，它不僅限于三階、四階，還有五階，六階，……，
直到任意階。
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一般地，在 n×n（n 行 n 列）的方格里，既不重復也不遺漏地填上 n×n 個(gè)連續的
自然數（注意，這 n×n 個(gè)連續自然數不一定非要從 1 開(kāi)始），每個(gè)數占 1 格，并使排
在每一行、每一列以及每條對角線(xiàn)上的 n 個(gè)自然數的和都相等，我們把這個(gè)相等的和
叫做幻和，n 叫做階，這樣排成的數的圖形叫做 n 階幻方。
這里我們主要學(xué)習三階幻方。
例 1 用 1～9 這九個(gè)數編排一個(gè)三階幻方。
分析與解 先用 a，b，c，…，i 分別填入圖 1 的九個(gè)空格內，以代表應填的數，如圖
2。
（1）審題首先我們應知道幻和是多少才好進(jìn)行填數。同時(shí)我們可以看到圖 2 中 e
是一個(gè)很關(guān)鍵的數，因為它分別要與第二行、第二列以及兩條對角線(xiàn)上的另外兩個(gè)數
進(jìn)行求和運算，結果都等于幻和；其次是三階幻方中四個(gè)角上的數：a，c，g，i，它
們各自都要參加一行、一列及一條對角線(xiàn)的求和運算。如果 e 以及四個(gè)角上的數被確
定之后，其他的數字便可以根據幻和是多少填寫(xiě)出來(lái)了。
（2）求幻和
幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3
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=45÷3
=15
（3）選擇解題突破口
突破口顯然是 e，在圖 2 中，
因為 a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，
所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）
=15+15＋15＋15=60，
也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
因為 a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i=45，
所以 45+3×e=60
所以 3×e=60-45
e=5
也就是說(shuō)，圖 1 中的中心方格中應填 5，請注意，這個(gè)數正好是 1～9 這九個(gè)數中
正中間的數。
（4）四個(gè)角上的數 a，c，g，i 的特點(diǎn)
先從 a 開(kāi)始討論：a 是奇數還是偶數。
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如果 a 為奇數，因為 a＋i=10，所以 i 也是奇數。因為 a＋d＋g=15，所以 d 與 g
同是奇數或同是偶數。分兩種情況：
①當 d、g 都是奇數時(shí)，因為 d＋e＋f=15，g＋h＋i=15，其中 e，i 都是奇數，所
以 f，h 也只能是奇數。這樣在圖 1 中應填的數有 a，d，e，f，g，h，i 這七個(gè)奇數，
而 1～9 這九個(gè)數中只有五個(gè)奇數，矛盾。說(shuō)明 d，g 不可能為奇數。
②當 d，g 為偶數時(shí)，因為 d＋f=10，g＋h＋i=15，c＋g=10，因為 i 為奇數，所
以 f，h，c 只能是偶數，這樣就有 c，d，f，g，h 五個(gè)偶數，而 1～9 這九個(gè)數中只有
四個(gè)偶數，矛盾。說(shuō)明 d，g 都是偶數也不行。
所以 a 不能是奇數，那么只能是偶數，于是由 a+i=10 知，i 也是偶數。
用同樣的方法可以得到 c，g 也只能是偶數。也就是說(shuō)，圖 1 中四個(gè)角上的數都應
填偶數。
（5）試驗填數排出幻方
因為 e=5，a，c，g，i 是偶數，所以 a 的范圍有 2，4，6，8 四個(gè)數，根據幻和等
于 15 進(jìn)行試驗：
當 a=2 時(shí)，i=8，c 可填 4，6。若 c=4，則有 g=6，b=9，d=7，f=3，h=1；若 c=6，
則有 g=4，b=7，d=9，f=1，h=3，這樣填出兩個(gè)三階幻方。
當 a=4，6，8 時(shí)，請同學(xué)們自己用上面的方法進(jìn)行試驗填數，作為練習。
用 1～9 這九個(gè)數編排的三階幻方有八個(gè)，如圖 3 所示。
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說(shuō)明：在上面圖形中給出的用 1～9 這九個(gè)數編排的八個(gè)三階幻方中的任何一個(gè)，
都可以對它上面的數字進(jìn)行適當的對調與旋轉，從而得到其余七個(gè)圖形。因此，我們
把這八個(gè)圖形給出的八個(gè)幻方算作是同一種三階幻方。
例 2 如下圖的 3×3 的陣列中填入了 1～9 的自然數，構成了大家熟知的三階幻方�，F
在另有一個(gè) 3×3 的陣列，請選擇九個(gè)不同的自然數填入九個(gè)方格中，使得其中最大者
為 20，最小者大于 5，且每一橫行、每一豎行及每條對角線(xiàn)上三個(gè)數的和都相等。
分析與解 所給的三階幻方中填入的是 1～9 這九個(gè)不同的自然數，其中最大的為 9，
最小的為 1，要使新編制的幻方中最大數為 20，而 9＋11=20，因此，如果在所給幻方
中各數都增加 11，就能構成一個(gè)新幻方，并且滿(mǎn)足最大數為 20，最小數大于 5。
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例 3 請編出一個(gè)三階幻方，使其幻和為 24。
分析與解 根據題意，要使三階幻方的幻和為 24，所以中心數必為 24÷3=8。那么與 8
在一條直線(xiàn)上的各個(gè)組的其余兩個(gè)數的和為 16。
1+15=16 2+14=16 3+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16
按上述條件填出并調整可得到一個(gè)三階幻方，其幻和為 24（如圖 7）。