有物不知數-文言文中的數學(xué)
�。ㄒ罁骸秾O子問(wèn)題》；編詩(shī)：陳鋼） 有物不知數，讓我數一數；
三個(gè)三個(gè)數，剩二好孤獨；
五五數剩三，七七又二單；
此物多少數，誰(shuí)能說(shuō)清楚？
【解說(shuō)】這是依據《孫子算經(jīng)》上有名的“孫子問(wèn)題”（又稱(chēng)“物不知數題”）編寫(xiě)而成的。原來(lái)的題目是：
“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問(wèn)物幾何？”
用通俗的話(huà)來(lái)說(shuō)，題目的意思就是
有一些物品，不知道有多少個(gè)，只知道將它們三個(gè)三個(gè)地數，會(huì )剩下2個(gè)；五個(gè)五個(gè)地數，會(huì )剩下3個(gè)；七個(gè)七個(gè)地數，也會(huì )剩下2個(gè)。這些物品的數量至少是多少個(gè)？
�。ㄗⅲ涸�(shī)題及題目原文都無(wú)“至少”二字，但“孫子問(wèn)題”都是些求“最少”或者求“至少”的問(wèn)題，否則就會(huì )有無(wú)數多個(gè)答案。所以，解釋題目意思時(shí)，在語(yǔ)句中加上了“至少”二字。）
《孫子算經(jīng)》解這道題目的“術(shù)文”和答案是：
“三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十減之，即得�！薄按鹪唬憾��！�
這些話(huà)是什么意思呢？用通俗的話(huà)來(lái)說(shuō)，就是：
先求被3除余2，并能同時(shí)被5、7整除的數，這樣的數最小是140；
再求被5除余3，并能同時(shí)被3、7整除的數，這樣的數最小是63；
然后求被7除余2，并能同時(shí)被3、5整除的數，這樣的數最小是30。
于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一個(gè)所要求得的`數。但這個(gè)數并不是最小的。
再用求得的“233”減去或者加上3、5、7的最小公倍數“105”的倍數，就得到許許多多這樣的數：
�。�23，128，233，338，443，…｝
從而可知，23、128、233、338、443、…都是這一道題目的解，而其中最小的解是23。
答：這些物品的數目至少是23個(gè)。
需要指出的是，在《孫子算經(jīng)》上，有一段關(guān)于這類(lèi)題目的解題“術(shù)文”：
“凡三三數之剩一則置七十，五五數之剩一則置二十一，七七數之剩一則置十五，一百六以上以一百五減之，即得�！�
�。ㄗⅲ汗欧Q(chēng)“106”和“105”為“一百六”和“一百五”，而稱(chēng)“160”和“150”為“一百六十”和“一百五十”。所以，這里的“一百六”和“一百五”分別指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）
明代著(zhù)名的大數學(xué)家程大位，在他所著(zhù)的《算法統宗》中，對于這種解一般“孫子問(wèn)題”的方法，還編出了四句歌訣，名曰《孫子歌》：
三人同行七十稀，
五樹(shù)梅花廿一枝；
七子團圓正半月，
除百零五便得知。
歌中的“廿”，讀音與“念”音相同�！柏ァ奔炊囊馑�。
這一歌訣的“詩(shī)意”，我們可以不去理會(huì )，只需注意它的數字就行了。歌訣中的每一句話(huà)，都指出了一步解題方法：
“三（3）人同行七十（70）稀”——是說(shuō)除以3所得的余數，要用“70”去乘它；
“五（5）樹(shù)梅花廿一（21）枝”——是說(shuō)除以5所得的余數，要用“21”去乘它；
“七（7）子團圓正半月（15）”——“半月”是一個(gè)月30天的一半，即15日，這是說(shuō)，除以 7所得的余數，要用“ 15”去乘它；
“除百零五（105）便得知”——這是說(shuō)要把上面所乘得的三個(gè)數相加，加得的和如果大于105，便應減去105，或者減去105的倍數。這也就是《孫子算經(jīng)》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）減之”。這樣得出的差，便是所要求的這個(gè)最小的未知數了。
運用這一歌訣來(lái)解答這道“物不知數”問(wèn)題，便是
2×70+3×21+2×15=140+63+30=233
233-105-105=23（答略）
不過(guò)，用這種方法解這類(lèi)問(wèn)題，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除數的題目，遇到用其他數作除數的算題，它就行不通了。這一點(diǎn)必須引起我們的注意。
這種“物不知數（孫子）問(wèn)題”，在我國古代流傳的算法名稱(chēng)很多。宋朝周宓稱(chēng)它為“鬼谷算”、“隔墻算”（之所以稱(chēng)“鬼谷算”，大概是因為它與傳說(shuō)中的哲學(xué)家鬼谷子有某些關(guān)系）；13世紀的大數學(xué)家楊輝則稱(chēng)它為“剪管術(shù)”。南宋數學(xué)家秦九韶將它推廣，并又發(fā)現一種算法，稱(chēng)它為“大衍求一術(shù)”。它被傳入西方后，外國人又稱(chēng)它為“中國剩余定理”。但是大多數人較為通俗的叫法，還是稱(chēng)它為“韓信點(diǎn)兵”（也有稱(chēng)“秦王暗點(diǎn)兵”的）。傳說(shuō)我國漢朝的大將韓信，計算士兵數目的方法十分特別，他不是五個(gè)五個(gè)或十個(gè)十個(gè)地數，也不要士兵“一、二、三、四、五……”地報數，而是叫他們排起隊伍，依次在他面前列隊行進(jìn)：先是一排三人，再是一排五人，然后是一排七人。他只將三次所余的士兵記下來(lái)，就知道了士兵的總數。他旁邊的人見(jiàn)他并沒(méi)有數士兵的數目，有時(shí)甚至還閉上了眼睛，而居然知道士兵的總數，都感到十分驚奇。所以，后人就把這種算法稱(chēng)為“韓信點(diǎn)兵”了�！绊n信點(diǎn)兵問(wèn)題”在數學(xué)史上，是個(gè)極有名的問(wèn)題。西洋人直到18世紀才被瑞士數學(xué)家歐拉發(fā)現這一問(wèn)題的解題規律。只拿我國南宋秦九韶的研究與他們相比，他們也晚了五百年左右的時(shí)間。
【思考、練習】
1．有一道用詩(shī)的形式表達的謎題是：
花生若干粒，三數即余一；
五數無(wú)剩余，七數余三粒。
你能猜出得數是多少粒嗎？（答案：10粒）
2．有一道民間詩(shī)題如下：
秦皇暗點(diǎn)衛隊兵，三三數來(lái)余二名；
五數七數都余一，衛隊共是多少人？
請仿照上面的方法解出這道題目。（答案：71人）
3．有總數不滿(mǎn)五十人的一隊士兵，“一至三報數”，最后一人報“一”；“一至五報數”，最后一人報“二”；“一至七報數”，最后一人也報“二”。這隊士兵有多少人？（答案：37人）
4．用三輪小貨車(chē)運一批糧食，每次運7袋，最后余下2
袋；每次運8袋，最后余下3袋；每次運9袋，最后余下1袋。這批糧食至少有多少袋？（答案：163袋）
5．有一個(gè)數，被5除余2，被7除余6，被11除余9。那么這個(gè)數最小是多少？（答案：97）
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