多項式函數及其根

　　給出多項式f∈R[x1,...,xn]以及一個(gè)R-代數A。對(a1，...，an)∈An，我們把f中的xj都換成aj，得出一個(gè)A中的元素，記作f(a1...an)。如此，f可看作一個(gè)由An到A的函數。

　　若然f(a1...an)=0，則(a1...an)稱(chēng)作f的根或零點(diǎn)。

　　例如f=x^2 1。若然考慮x是實(shí)數、復數、或矩陣，則f會(huì )無(wú)根、有兩個(gè)根、及有無(wú)限個(gè)根！

　　例如f=x-y。若然考慮x是實(shí)數或復數，則f的零點(diǎn)集是所有(x,x)的集合，是一個(gè)代數曲線(xiàn)。事實(shí)上所有代數曲線(xiàn)由此而來(lái)。

　　另外，若所有系數為實(shí)數多項式P(x)有復數根Z，則Z的共軌復數也是根。

　　若P（x）有n個(gè)重疊的根，則P‘(x)有n-1個(gè)重疊根。即若P(x)=(x-a)^nQ(x)，則有a是P’(x)的重疊根且有n-1個(gè)。

　　有理根定理應用

　　為了確定一個(gè)多項式是否有任何有理根，使用該定理，如果是這樣就可以找出它們。 由于定理給出了完全減少的有理根的分子和分母作為某些數的除數的約束，所以可以檢查除數的所有可能的組合，或者找出合理的根，或者確定沒(méi)有一個(gè)。 如果找到一個(gè)或多個(gè)，則可以將它們從多項式中分解出來(lái)，導致較低程度的多項式，其根也是原始多項式的根。