《平面向量的數量積》9篇[熱]

《平面向量的數量積》1

　　一、 教材分析

　　1.本課的地位及作用：平面向量數量積的坐標表示，就是運用坐標這一量化工具表達向量的數量積運算，為研究平面中的距離、垂直、角度等問(wèn)題提供了全新的手段。它把向量的數量積與坐標運算兩個(gè)知識點(diǎn)緊密聯(lián)系起來(lái)，是全章重點(diǎn)之一。

　　2學(xué)生情況分析：在此之前學(xué)生已學(xué)習了平面向量的坐標表示和平面向量數量積概念及運算，但數量積是用長(cháng)度和夾角這兩個(gè)概念來(lái)表示的，應用起來(lái)不太方便，如何用坐標這一最基本、最常用的工具來(lái)表示數量積，使之應用更方便，就是擺在學(xué)生面前的一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。因此，本節內容的學(xué)習是學(xué)生認知發(fā)展和知識構建的一個(gè)合情、合理的“生長(cháng)點(diǎn)”。所以，本節課采取以學(xué)生自主完成為主，教師查漏補缺的教學(xué)方法。因此結合中學(xué)生的認知結構特點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際。我將本節教學(xué)目標確定為：

　　1、理解掌握平面向量數量積的坐標表達式，會(huì )進(jìn)行數量積的運算。理解掌握向量的模、夾角等公式。能根據公式解決兩個(gè)向量的夾角、垂直等問(wèn)題

　　2、經(jīng)歷根據平面向量數量積的意義探究其坐標表示的過(guò)程，體驗在此基礎上探究發(fā)現向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂(lè )趣，培養學(xué)生的探究能力、創(chuàng )新精神。

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　平面向量數量積的坐標表示及應用

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　探究發(fā)現公式

　　二、 教學(xué)方法和手段

　　1教學(xué)方法：結合本節教材淺顯易懂，又有前面平面向量的數量積和向量的坐標表示等知識作鋪墊的內容特點(diǎn)，兼顧高一學(xué)生已具備一定的數學(xué)思維能力和處理向量問(wèn)題的方法的現狀，我主要采用“誘思探究教學(xué)法”，其核心是“誘導思維，探索研究”，其教學(xué)思想是“教師為主導，學(xué)生為主體，訓練為主線(xiàn)的原則，為此，我通過(guò)精心設置的一個(gè)個(gè)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，積極的鼓勵學(xué)生的參與，給學(xué)生獨立思考的空間，鼓勵學(xué)生自主探索，最終在教師的指導下去探索發(fā)現問(wèn)題，解決問(wèn)題。在教學(xué)中，我適時(shí)的對學(xué)生學(xué)習過(guò)程給予評價(jià)，適當的評價(jià)，可以培養學(xué)生的自信心，合作交流的意識，更進(jìn)一步地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習興趣，讓他們體驗成功的'喜悅。

　　2教學(xué)手段：利用多媒體輔助教學(xué)，可以加大一堂課的信息容量，極大提高學(xué)生的學(xué)習興趣。

　　三、 學(xué)法指導

　　改善學(xué)生的學(xué)習方式是高中數學(xué)課程追求的基本理念。獨立思考，自主探索，動(dòng)手實(shí)踐，合作交流等都是學(xué)習數學(xué)的重要方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習主觀(guān)能動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習過(guò)程成為在教師引導下的“再創(chuàng )造”的過(guò)程。以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣和創(chuàng )新潛能，幫助學(xué)生養成獨立思考，積極探索的習慣。為了實(shí)現這一目標，本節教學(xué)讓學(xué)生主動(dòng)參與，讓學(xué)生動(dòng)手，動(dòng)口、動(dòng)腦。通過(guò)思考、計算、歸納、推理，鼓勵學(xué)生多向思維，積極活動(dòng)，勇于探索。具體體現在：1、通過(guò)提出問(wèn)題，把問(wèn)題的求解與探究貫穿整堂課，使學(xué)生在自主探究中發(fā)現了結論，推廣了命題，使學(xué)生感到成果是自己得到的，增強了成就感，培養了學(xué)生學(xué)好數學(xué)的信心和良好的學(xué)習動(dòng)機。2、通過(guò)數與形的充分挖掘，通過(guò)對向量平行與垂直條件的坐標表示的類(lèi)比，培養了學(xué)生數形結合的數學(xué)思想，教給了學(xué)生類(lèi)比聯(lián)想的記憶方法。

　　四、教學(xué)程序

　　本節課分為復習回顧、定理推導、引申推廣、例題講析、練習與小結五部分。

　　復習回顧部分通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題，復習了與本節內容相關(guān)的數量積概念，為本節內容的學(xué)習作了必要的鋪墊。

　　定理推導部分通過(guò)設問(wèn)，引出尋求向量的數量積的坐標表示的必要性，引入課題，并引導學(xué)生應用前述知識共同推導出數量積的坐標表示。

　　引申推廣部分，讓學(xué)生自主推導出向量的長(cháng)度公式，向量垂直條件的坐標表示、夾角公式等三個(gè)結論，強化了學(xué)生的動(dòng)手能力和自主探究能力。

　　例題講析，通過(guò)四道緊扣教材的例題的精講，突出了結論的應用，也起到了示范作用。

　　練習及小結：通過(guò)練習題驗收教學(xué)效果，突出訓練主線(xiàn)，小結部分畫(huà)龍點(diǎn)睛，強調本節重點(diǎn)。再結合課后作業(yè)，進(jìn)一步實(shí)現本節課的教學(xué)目的。同時(shí)小結也體現主體性，由教師提出問(wèn)題學(xué)生總結得出。

《平面向量的數量積》2

　　一：說(shuō)教材

　　平面向量的數量積是兩向量之間的乘法，而平面向量的坐標表示把向量之間的運算轉化為數之間的運算。本節內容是在平面向量的坐標表示以及平面向量的數量積及其運算律的基礎上，介紹了平面向量數量積的坐標表示，平面兩點(diǎn)間的距離公式，和向量垂直的坐標表示的充要條件。為解決直線(xiàn)垂直問(wèn)題，三角形邊角的有關(guān)問(wèn)題提供了很好的辦法。本節內容也是全章重要內容之一。

　　二：說(shuō)學(xué)習目標和要求

　　通過(guò)本節的學(xué)習，要讓學(xué)生掌握

　�。�1）：平面向量數量積的坐標表示。

　�。�2）：平面兩點(diǎn)間的距離公式。

　�。�3）：向量垂直的坐標表示的充要條件。

　　以及它們的一些簡(jiǎn)單應用，以上三點(diǎn)也是本節課的重點(diǎn)，本節課的難點(diǎn)是向量垂直的坐標表示的充要條件以及它的靈活應用。

　　三：說(shuō)教法

　　在教學(xué)過(guò)程中，我主要采用了以下幾種教學(xué)方法：

　�。�1）啟發(fā)式教學(xué)法

　　因為本節課重點(diǎn)的坐標表示公式的推導相對比較容易，所以這節課我準備讓學(xué)生自行推導出兩個(gè)向量數量積的坐標表示公式，然后引導學(xué)生發(fā)現幾個(gè)重要的結論：如模的計算公式，平面兩點(diǎn)間的距離公式，向量垂直的坐標表示的充要條件。

　�。�2）講解式教學(xué)法

　　主要是講清概念，解除學(xué)生在概念理解上的疑惑感；例題講解時(shí)，演示解題過(guò)程！

　　主要輔助教學(xué)的手段（powerpoint）

　�。�3）討論式教學(xué)法

　　主要是通過(guò)學(xué)生之間的`相互交流來(lái)加深對較難問(wèn)題的理解，提高學(xué)生的自學(xué)能力和發(fā)現、分析、解決問(wèn)題以及創(chuàng )新能力。

　　四：說(shuō)學(xué)法

　　學(xué)生是課堂的主體，一切教學(xué)活動(dòng)都要圍繞學(xué)生展開(kāi)，借以誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，增強課堂上和學(xué)生的交流，從而達到及時(shí)發(fā)現問(wèn)題，解決問(wèn)題的目的。通過(guò)精講多練，充分調動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習的積極性。如讓學(xué)生自己動(dòng)手推導兩個(gè)向量數量積的坐標公式，引導學(xué)生推導4個(gè)重要的結論！并在具體的問(wèn)題中，讓學(xué)生建立方程的思想，更好的解決問(wèn)題！

　　五：說(shuō)教學(xué)過(guò)程

　　這節課我準備這樣進(jìn)行：

　　首先提出問(wèn)題：要算出兩個(gè)非零向量的數量積，我們需要知道哪些量？

　　繼續提出問(wèn)題：假如知道兩個(gè)非零向量的坐標，是不是可以用這兩個(gè)向量的坐標來(lái)表示這兩個(gè)向量的數量積呢？

　　引導學(xué)生自己推導平面向量數量積的坐標表示公式，在此公式基礎上還可以引導學(xué)生得到以下幾個(gè)重要結論：

　�。�1） 模的計算公式

　�。�2）平面兩點(diǎn)間的距離公式。

　�。�3）兩向量夾角的余弦的坐標表示

　�。�4）兩個(gè)向量垂直的標表示的充要條件

　　第二部分是例題講解，通過(guò)例題講解，使學(xué)生更加熟悉公式并會(huì )加以應用。

　　例題1是書(shū)上122頁(yè)例1，此題是直接用平面向量數量積的坐標公式的題，目的是讓學(xué)生熟悉這個(gè)公式，并在此題基礎上，求這兩個(gè)向量的夾角？目的是讓學(xué)生熟悉兩向量夾角的余弦的坐標表示公式例題2是直接證明直線(xiàn)垂直的題，雖然比較簡(jiǎn)單，但體現了一種重要的證明方法，這種方法要讓學(xué)生掌握，其實(shí)這一例題也是兩個(gè)向量垂直坐標表示的充要條件的一個(gè)應用：即兩個(gè)向量的數量積是否為零是判斷相應的兩條直線(xiàn)是否垂直的重要方法之一。

　　例題3是在例2的基礎上稍微作了一下改變，目的是讓學(xué)生會(huì )應用公式來(lái)解決問(wèn)題，并讓學(xué)生在這要有建立方程的思想。

　　再配以練習，讓學(xué)生能熟練的應用公式，掌握今天所學(xué)內容。

　　然后是學(xué)習小結（由學(xué)生完成）

　　最后作業(yè)布置！

《平面向量的數量積》3

　　教學(xué)準備

　　教學(xué)目標

　　1.掌握平面向量的數量積及其幾何意義;

　　2.掌握平面向量數量積的重要性質(zhì)及運算律;

　　3.了解用平面向量的數量積可以處理垂直的問(wèn)題;

　　4.掌握向量垂直的條件.

　　教學(xué)重難點(diǎn)

　　教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的.數量積定義

　　教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用

　　教學(xué)過(guò)程

　　1.平面向量數量積(內積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角是θ，

　　則數量|a||b|cosq叫a與b的數量積，記作ab，即有ab=|a||b|cosq，(0≤θ≤π).

　　并規定0向量與任何向量的數量積為0.

　　探究：

　　1、向量數量積是一個(gè)向量還是一個(gè)數量?它的符號什么時(shí)候為正?什么時(shí)候為負?

　　2、兩個(gè)向量的數量積與實(shí)數乘向量的積有什么區別?

　　(1)兩個(gè)向量的數量積是一個(gè)實(shí)數，不是向量，符號由cosq的符號所決定.

　　(2)兩個(gè)向量的數量積稱(chēng)為內積，寫(xiě)成ab;今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積ab，而ab是兩個(gè)向量的數量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴格區分.符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替.

　　(3)在實(shí)數中，若a?0，且ab=0，則b=0;但是在數量積中，若a?0，且ab=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.

《平面向量的數量積》4

　　平面向量的數量積是一種非常重要的運算，同其線(xiàn)性運算一樣，既有其深刻的數學(xué)背景，也有其現實(shí)的物理背景。本節課從總體上說(shuō)是一節概念教學(xué)，依據數學(xué)課程改革應關(guān)注知識的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程的理念，在數量積概念的引入過(guò)程中，我從數學(xué)和物理兩個(gè)角度創(chuàng )設問(wèn)題情景，使學(xué)生明白研究這種運算不僅是數學(xué)本身發(fā)展的必然，更是研究客觀(guān)世界的需要，從而產(chǎn)生強烈的求知欲望。相對于線(xiàn)性運算而言，數量積的結果發(fā)生了本質(zhì)的變化，為了讓學(xué)生理解這一點(diǎn)，我首先安排讓學(xué)生討論影響數量積結果的因素并完成表格，其次將數量積的幾何意義提前，這樣使學(xué)生從代數和幾何兩個(gè)方面對數量積的“質(zhì)變”特征有了更加充分的認識。通過(guò)嘗試練習，一方面使學(xué)生嘗試計算數量積，另一方面使學(xué)生理解數量積的物理意義，同時(shí)也為數量積的性質(zhì)埋下伏筆。

　　數量積的性質(zhì)和運算律是數量積概念的延伸，教材中這兩方面的內容都是以探究的形式出現，為了讓學(xué)生很好的完成這兩個(gè)探究活動(dòng)，我始終按照先創(chuàng )設一定的情景，讓學(xué)生去發(fā)現結論，再由學(xué)生或師生共同完成證明。比如數量積的運算性質(zhì)是將嘗試練習的結論推廣得到，數量積的運算律則是通過(guò)和實(shí)數乘法相類(lèi)比得到，這樣不僅使學(xué)生感到親切自然，同時(shí)也培養了學(xué)生由特殊到一般的.思維品質(zhì)和類(lèi)比創(chuàng )新的意識。在應用這個(gè)環(huán)節中，對教材中提供的四個(gè)例題，我重點(diǎn)講解例2和例4，例1和例3則由學(xué)生獨立完成，這樣既加強了學(xué)生的練習，同時(shí)也便于通過(guò)觀(guān)察、問(wèn)答等方式對學(xué)生的掌握情況做出適當的評價(jià)。達到提高認識，形成體系的目的，同時(shí)也為下一節課的內容做好鋪墊，不斷激發(fā)學(xué)生的求知欲。

《平面向量的數量積》5

　　說(shuō)課內容：普通高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)(人教A版)《數學(xué)必修4》第二章第四節“平面向量的數量積”的第一課時(shí)---平面向量數量積的物理背景及其含義。

　　下面，我從背景分析、教學(xué)目標設計、課堂結構設計、教學(xué)過(guò)程設計、教學(xué)媒體設計及教學(xué)評價(jià)設計六個(gè)方面對本節課的思考進(jìn)行說(shuō)明。

　　一、 背景分析

　　1、學(xué)習任務(wù)分析

　　平面向量的數量積是繼向量的線(xiàn)性運算之后的又一重要運算，也是高中數學(xué)的一個(gè)重要概念，在數學(xué)、物理等學(xué)科中應用十分廣泛。本節內容教材共安排兩課時(shí)，其中第一課時(shí)主要研究數量積的概念，第二課時(shí)主要研究數量積的坐標運算，本節課是第一課時(shí)。

　　本節課的主要學(xué)習任務(wù)是通過(guò)物理中“功”的事例抽象出平面向量數量積的概念，在此基礎上探究數量積的性質(zhì)與運算律，使學(xué)生體會(huì )類(lèi)比的思想方法，進(jìn)一步培養學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力。其中數量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運算律的基礎。同時(shí)也因為在這個(gè)概念中，既有長(cháng)度又有角度，既有形又有數，是代數、幾何與三角的最佳結合點(diǎn)，不僅應用廣泛，而且很好的體現了數形結合的數學(xué)思想，使得數量積的概念成為本節課的核心概念，自然也是本節課教學(xué)的重點(diǎn)。

　　2、學(xué)生情況分析

　　學(xué)生在學(xué)習本節內容之前，已熟知了實(shí)數的運算體系，掌握了向量的概念及其線(xiàn)性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會(huì )了研究向量運算的一般方法：即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實(shí)數運算類(lèi)比的基礎上研究性質(zhì)和運算律。這為學(xué)生學(xué)習數量積做了很好的鋪墊，使學(xué)生倍感親切。但也正是這些干擾了學(xué)生對數量積概念的理解，一方面，相對于線(xiàn)性運算而言，數量積的結果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個(gè)有形有數的向量經(jīng)過(guò)數量積運算后，形卻消失了，學(xué)生對這一點(diǎn)是很難接受的;另一方面，由于受實(shí)數乘法運算的影響，也會(huì )造成學(xué)生對數量積理解上的偏差，特別是對性質(zhì)和運算律的理解。因而本節課教學(xué)的難點(diǎn)數量積的概念。

　　二、 教學(xué)目標設計

　　《普通高中數學(xué)課程標準(實(shí)驗)》 對本節課的要求有以下三條：

　　(1)通過(guò)物理中“功”等事例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義。

　　(2)體會(huì )平面向量的數量積與向量投影的關(guān)系。

　　(3)能用運數量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì )用數量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

　　從以上的背景分析可以看出，數量積的概念既是本節課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，首先無(wú)論是在概念的引入還是應用過(guò)程中，物理中“功”的實(shí)例都發(fā)揮了重要作用。其次，作為數量積概念延伸的性質(zhì)和運算律，不僅能夠使學(xué)生更加全面深刻地理解概念，同時(shí)也是進(jìn)行相關(guān)計算和判斷的理論依據。最后，無(wú)論是數量積的性質(zhì)還是運算律，都希望學(xué)生在類(lèi)比的基礎上，通過(guò)主動(dòng)探究來(lái)發(fā)現，因而對培養學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力和類(lèi)比思想都無(wú)疑是很好的載體。

　　綜上所述，結合“課標”要求和學(xué)生實(shí)際，我將本節課的教學(xué)目標定為：

　　1、了解平面向量數量積的物理背景，理解數量積的含義及其物理意義;

　　2、體會(huì )平面向量的數量積與向量投影的關(guān)系，掌握數量積的性質(zhì)和運算律，

　　并能運用性質(zhì)和運算律進(jìn)行相關(guān)的運算和判斷;

　　3、體會(huì )類(lèi)比的數學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。

　　三、課堂結構設計

　　本節課從總體上講是一節概念教學(xué)，依據數學(xué)課程改革應關(guān)注知識的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程的理念，結合本節課的知識的邏輯關(guān)系，我按照以下順序安排本節課的教學(xué)：

　　即先從數學(xué)和物理兩個(gè)角度創(chuàng )設問(wèn)題情景，通過(guò)歸納和抽象得到數量積的概念，在此基礎上研究數量積的性質(zhì)和運算律，使學(xué)生進(jìn)一步加深對概念的理解，然后通過(guò)例題和練習使學(xué)生鞏固概念，加深印象，最后通過(guò)課堂小結提高學(xué)生認識，形成知識體系。

　　四、 教學(xué)媒體設計

　　和“大綱”教材相比，“課標”教材在本節課的內容安排上，雖然將向量的夾角在“平面向量基本定理”一節提前做了介紹，但卻將原來(lái)分兩節課完成的內容合并成一節，相比較而言本節課的教學(xué)任務(wù)加重了許多。為了保證教學(xué)任務(wù)的完成，順利實(shí)現本節課的教學(xué)目標，考慮到本節課的實(shí)際特點(diǎn)，在教學(xué)媒體的使用上，我的設想主要有以下兩點(diǎn)：

　　1、制作高效實(shí)用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關(guān)內容的呈現方式，以此來(lái)節約課時(shí)，增加課堂容量。

　　2、設計科學(xué)合理的板書(shū)(見(jiàn)下)，一方面使學(xué)生加深對主要知識的印象，另一方面使學(xué)生清楚本節內容知識間的邏輯關(guān)系，形成知識網(wǎng)絡(luò )。

　　平面向量數量積的物理背景及其含義

　　一、 數量積的概念 二、數量積的性質(zhì) 四、應用與提高

　　1、 概念： 例1：

　　2、 概念強調 (1)記法 例2：

　　(2)“規定” 三、數量積的運算律 例3：

　　3、幾何意義：

　　4、物理意義：

　　五、 教學(xué)過(guò)程設計

　　課標指出：數學(xué)教學(xué)過(guò)程是教師引導學(xué)生進(jìn)行學(xué)習活動(dòng)的'過(guò)程，是教師和學(xué)生間互動(dòng)的過(guò)程，是師生共同發(fā)展的過(guò)程。為有序、有效地進(jìn)行教學(xué)，本節課我主要安排以下六個(gè)活動(dòng)：

　　活動(dòng)一：創(chuàng )設問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)習興趣

　　正如教材主編寄語(yǔ)所言，數學(xué)是自然的，而不是強加于人的。平面向量的數量積這一重要概念，和向量的線(xiàn)性運算一樣，也有其數學(xué)背景和物理背景，為了體現這一點(diǎn)，我設計以下幾個(gè)問(wèn)題：

　　問(wèn)題1：我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算?這些運算的結果是什么?

　　問(wèn)題2：我們是怎么引入向量的加法運算的?我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的?

　　期望學(xué)生回答：物理模型→概念→性質(zhì)→運算律→應用

　　問(wèn)題3：如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，

　　(1)力F所做的功W= 。

　　(2)請同學(xué)們分析這個(gè)公式的特點(diǎn)：

　　W(功)是 量，

　　F(力)是 量，

　　S(位移)是 量，

　　α是 。

　　問(wèn)題1的設計意圖在于使學(xué)生了解數量積的數學(xué)背景，讓學(xué)生明白本節課所要研究的數量積與向量的加法、減法及數乘一樣，都是向量的運算，但與向量的線(xiàn)性運算相比，數量積運算又有其特殊性，那就是其結果發(fā)生了本質(zhì)的變化。

　　問(wèn)題2的設計意圖在于使學(xué)生在與向量加法類(lèi)比的基礎上明了本節課的研究方法和順序，為教學(xué)活動(dòng)指明方向。

　　問(wèn)題3的設計意圖在于使學(xué)生了解數量積的物理背景，讓學(xué)生知道，我們研究數量積絕不僅僅是為了數學(xué)自身的完善，而是有其客觀(guān)背景和現實(shí)意義的，從而產(chǎn)生了進(jìn)一步研究這種新運算的愿望。同時(shí)，也為抽象數量積的概念做好鋪墊。

　　活動(dòng)二：探究數量積的概念

　　1、概念的抽象

　　在分析“功”的計算公式的基礎上提出問(wèn)題4

　　問(wèn)題4：你能用文字語(yǔ)言來(lái)表述功的計算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結果又該如何表述?

　　學(xué)生通過(guò)思考不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積;兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積。這樣，學(xué)生事實(shí)上已經(jīng)得到數量積概念的文字表述了，在此基礎上，我進(jìn)一步明晰數量積的概念。

　　2、概念的明晰

　　已知兩個(gè)非零向量

　　與

　　，它們的夾角為

　　，我們把數量 ︱

　　︱·︱

　　︱cos

　　叫做

　　與

　　的數量積(或內積)，記作：

　　·

　　，即：

　　·

　　= ︱

　　︱·︱

　　︱cos

　　在強調記法和“規定”后 ，為了讓學(xué)生進(jìn)一步認識這一概念，提出問(wèn)題5

　　問(wèn)題5：向量的數量積運算與線(xiàn)性運算的結果有什么不同?影響數量積大小的因素有哪些?并完成下表：

　　角

　　的范圍0°≤

　　<90°

　　=90°0°<

　　≤180°

　　·

　　的符號

　　通過(guò)此環(huán)節不僅使學(xué)生認識到數量積的結果與線(xiàn)性運算的結果有著(zhù)本質(zhì)的不同，而且認識到向量的夾角是決定數量積結果的重要因素，為下面更好地理解數量積的性質(zhì)和運算律做好鋪墊。

　　3、探究數量積的幾何意義

　　這個(gè)問(wèn)題教材是這樣安排的：在給出向量數量積的概念后，只介紹了向量投影的定義，直到講完例1后，為了證明運算律的第三條才直接以結論的形式呈現給學(xué)生，我覺(jué)得這樣安排似乎不太自然，還不如在給出向量投影的概念后，直接由學(xué)生自己歸納得出，所以做了調整。為此，我首先給出給出向量投影的概念，然后提出問(wèn)題5。

　　如圖，我們把│

　　│cos

　　(│

　　│cos

　　)叫做向量

　　在

　　方向上(

　　在

　　方向上)的投影，記做：OB1=│

　　│cos

　　問(wèn)題6：數量積的幾何意義是什么?

　　這樣做不僅讓學(xué)生從“形”的角度重新認識數量積的概念，從中體會(huì )數量積與向量投影的關(guān)系，同時(shí)也更符合知識的連貫性，而且也節約了課時(shí)。

　　4、研究數量積的物理意義

　　數量積的概念是由物理中功的概念引出的，學(xué)習了數量積的概念后，學(xué)生就會(huì )明白功的數學(xué)本質(zhì)就是力與位移的數量積。為此，我設計以下問(wèn)題 一方面使學(xué)生嘗試計算數量積，另一方面使學(xué)生理解數量積的物理意義，同時(shí)也為數量積的性質(zhì)埋下伏筆。

　　問(wèn)題7：

　　(1) 請同學(xué)們用一句話(huà)來(lái)概括功的數學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數量積 。

　　(2)嘗試練習：一物體質(zhì)量是10千克，分別做以下運動(dòng)：

　�、�、在水平面上位移為10米;

　�、�、豎直下降10米;

　�、�、豎直向上提升10米;

　�、�、沿傾角為30度的斜面向上運動(dòng)10米;

　　分別求重力做的功。

　　活動(dòng)三：探究數量積的運算性質(zhì)

　　1、性質(zhì)的發(fā)現

　　教材中關(guān)于數量積的三條性質(zhì)是以探究的形式出現的，為了很好地完成這一探究活動(dòng)，在完成上述練習后，我不失時(shí)機地提出問(wèn)題8：

　　(1)將嘗試練習中的① ② ③的結論推廣到一般向量，你能得到哪些結論?

　　(2)比較︱

　　·

　　︱與︱

　　︱×︱

　　︱的大小，你有什么結論?

　　在學(xué)生討論交流的基礎上，教師進(jìn)一步明晰數量積的性質(zhì)，然后再由學(xué)生利用數量積的定義給予證明，完成探究活動(dòng)。

　　2、明晰數量積的性質(zhì)

　　3、性質(zhì)的證明

　　這樣設計體現了教師只是教學(xué)活動(dòng)的引領(lǐng)者，而學(xué)生才是學(xué)習活動(dòng)的主體，讓學(xué)生成為學(xué)習的研究者，不斷地體驗到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習活動(dòng)的熱情，不僅使學(xué)生獲得了知識，更培養了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)。

　　活動(dòng)四：探究數量積的運算律

　　1、運算律的發(fā)現

　　關(guān)于運算律，教材仍然是以探究的形式出現，為此，首先提出問(wèn)題9

　　問(wèn)題9：我們學(xué)過(guò)了實(shí)數乘法的哪些運算律?這些運算律對向量是否也適用?

　　通過(guò)此問(wèn)題主要是想使學(xué)生在類(lèi)比的基礎上，猜測提出數量積的運算律。

　　學(xué)生可能會(huì )提出以下猜測： ①

　　·

　　=

　　·

　�、�(

　　·

　　)

　　=

　　(

　　·

　　) ③(

　　+

　　)·

　　=

　　·

　　+

　　·

　　猜測①的正確性是顯而易見(jiàn)的。

　　關(guān)于猜測②的正確性，我提示學(xué)生思考下面的問(wèn)題：

　　猜測②的左右兩邊的結果各是什么?它們一定相等嗎?

　　學(xué)生通過(guò)討論不難發(fā)現，猜測②是不正確的。

　　這時(shí)教師在肯定猜測③的基礎上明晰數量積的運算律：

　　2、明晰數量積的運算律

　　3、證明運算律

　　學(xué)生獨立證明運算律(2)

　　我把運算運算律(2)的證明交給學(xué)生完成，在證明時(shí)，學(xué)生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學(xué)生完善證明，提出以下問(wèn)題：

　　當λ<0時(shí)，向量

　　與λ

　　，

　　與λ

　　的方向 的關(guān)系如何?此時(shí)，向量λ

　　與

　　及

　　與λ

　　的夾角與向量

　　與

　　的夾角相等嗎?

　　師生共同證明運算律(3)

　　運算律(3)的證明對學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較困難的，為了節約課時(shí)，這個(gè)證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。

　　在這個(gè)環(huán)節中，我仍然是首先為學(xué)生創(chuàng )設情景，讓學(xué)生在類(lèi)比的基礎上進(jìn)行猜想歸納，然后教師明晰結論，最后再完成證明，這樣做不僅培養了學(xué)生推理論證的能力，同時(shí)也增強了學(xué)生類(lèi)比創(chuàng )新的意識，將知識的獲得和能力的培養有機的結合在一起。

　　活動(dòng)五：應用與提高

　　例1、(師生共同完成)已知︱

　　︱=6，︱

　　︱=4,

　　與

　　的夾角為60°，求

　　(

　　+2

　　)·(

　　-3

　　)，并思考此運算過(guò)程類(lèi)似于哪種運算?

　　例2、(學(xué)生獨立完成)對任意向量

　　，b是否有以下結論：

　　(1)(

　　+

　　)2=

　　2+2

　　·

　　+

　　2

　　(2)(

　　+

　　)·(

　　-

　　)=

　　2—

　　2

　　例3、(師生共同完成)已知︱

　　︱=3，︱

　　︱=4, 且

　　與

　　不共線(xiàn)，k為何值時(shí)，向量

　　+k

　　與

　　-k

　　互相垂直?并思考：通過(guò)本題你有什么收獲?

　　本節教材共安排了四道例題，我根據學(xué)生實(shí)際選擇了其中的三道，并對例1和例3增加了題后反思。例1是數量積的性質(zhì)和運算律的綜合應用，教學(xué)時(shí)，我重點(diǎn)從對運算原理的分析和運算過(guò)程的規范書(shū)寫(xiě)兩個(gè)方面加強示范。完成計算后，進(jìn)一步提出問(wèn)題：此運算過(guò)程類(lèi)似于哪種運算?目的是想讓學(xué)生在類(lèi)比多項式乘法的基礎上自己猜測提出例2給出的兩個(gè)公式，再由學(xué)生獨立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養了學(xué)生通過(guò)類(lèi)比這一思維模式達到創(chuàng )新的目的。例3的主要作用是，在繼續鞏固性質(zhì)和運算律的同時(shí)，教給學(xué)生如何利用數量積來(lái)判斷兩個(gè)向量的垂直，是平面向量數量積的基本應用之一，教學(xué)時(shí)重點(diǎn)給學(xué)生分析數與形的轉化原理。

　　為了使學(xué)生更好的理解數量積的含義，熟練掌握性質(zhì)及運算律，并能夠應用數量積解決有關(guān)問(wèn)題，再安排如下練習：

　　1、 下列兩個(gè)命題正確嗎?為什么?

　�、�、若

　　≠0，則對任一非零向量

　　，有

　　·

　　≠0.

　�、�、若

　　≠0，

　　·

　　=

　　·

　　，則

　　=

　　.

　　2、已知△ABC中，

　　=

　　,

　　=

　　，當

　　·

　　<0或

　　·

　　=0時(shí)，試判斷△ABC的形狀。

　　安排練習1的主要目的是，使學(xué)生在與實(shí)數乘法比較的基礎上全面認識數量積這一重要運算，

　　通過(guò)練習2使學(xué)生學(xué)會(huì )用數量積表示兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)一步感受數量積的應用價(jià)值。

　　活動(dòng)六：小結提升與作業(yè)布置

　　1、本節課我們學(xué)習的主要內容是什么?

　　2、平面向量數量積的兩個(gè)基本應用是什么?

　　3、我們是按照怎樣的思維模式進(jìn)行概念的歸納和性質(zhì)的探究?在運算律的探究過(guò)程中，滲透了哪些數學(xué)思想?

　　4、類(lèi)比向量的線(xiàn)性運算，我們還應該怎樣研究數量積?

　　通過(guò)上述問(wèn)題，使學(xué)生不僅對本節課的知識、技能及方法有了更加全面深刻的認識，同時(shí)也為下

　　一節做好鋪墊，繼續激發(fā)學(xué)生的求知欲。

　　布置作業(yè)：

　　1、課本P121習題2.4A組1、2、3。

　　2、拓展與提高：

　　已知

　　與

　　都是非零向量，且

　　+3

　　與7

　　-5

　　垂直，

　　-4

　　與 7

　　-2

　　垂直求

　　與

　　的夾角。

　　在這個(gè)環(huán)節中，我首先考慮檢測全體學(xué)生是否都達到了“課標”的基本要求，因此安排了一組教材中的習題，目的是讓所有的學(xué)生繼續加深對數量積概念的理解和應用，為后續學(xué)習打好基礎。其次，為了能讓不同的學(xué)生在數學(xué)領(lǐng)域得到不同的發(fā)展，我又安排了一道有一定難度的問(wèn)題供學(xué)有余力的同學(xué)選做。

　　六、教學(xué)評價(jià)設計

　　評價(jià)方式的轉變是新課程改革的一大亮點(diǎn)，課標指出：相對于結果，過(guò)程更能反映每個(gè)學(xué)生的發(fā)展變化，體現出學(xué)生成長(cháng)的歷程。因此，數學(xué)學(xué)習的評價(jià)既要重視結果，也要重視過(guò)程。結合“課標”對數學(xué)學(xué)習的評價(jià)建議，對本節課的教學(xué)我主要通過(guò)以下幾種方式進(jìn)行：

　　1、 通過(guò)與學(xué)生的問(wèn)答交流，發(fā)現其思維過(guò)程，在鼓勵的基礎上，糾正偏差，并對其進(jìn)行定

　　性的評價(jià)。

　　2、在學(xué)生討論、交流、協(xié)作時(shí)，教師通過(guò)觀(guān)察，就個(gè)別或整體參與活動(dòng)的態(tài)度和表現做出評價(jià)，以此來(lái)調動(dòng)學(xué)生參與活動(dòng)的積極性。

　　3、 通過(guò)練習來(lái)檢驗學(xué)生學(xué)習的效果，并在講評中，肯定優(yōu)點(diǎn)，指出不足。

　　4、 通過(guò)作業(yè)，反饋信息，再次對本節課做出評價(jià)，以便查漏補缺。

《平面向量的數量積》6

　　1.平面向量的數量積

　　平面向量數量積的'定義

　　已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，把數量|a||b|cos 叫做a和b的數量積(或內積)，記作ab.即ab=|a||b|cos ，規定0a=0.

　　2.向量數量積的運算律

　　(1)ab=ba

　　(2)(a)b=(ab)=a(b)

　　(3)(a+b)c=ac+bc

　　[探究] 根據數量積的運算律，判斷下列結論是否成立.

　　(1)ab=ac，則b=c嗎?

　　(2)(ab)c=a(bc)嗎?

　　提示：(1)不一定，a=0時(shí)不成立，

　　另外a0時(shí)，ab=ac.由數量積概念可知b與c不能確定;

　　(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.

　　(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，當a與c不共線(xiàn)時(shí)它們必不相等.

《平面向量的數量積》7

　�。�1）讓學(xué)生經(jīng)歷數學(xué)知識的形成與應用過(guò)程

　　高中數學(xué)教學(xué)應體現知識的來(lái)龍去脈，創(chuàng )設問(wèn)題情景，建立數學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷數學(xué)知識的形成與應用，可以更好的理解數學(xué)概念、結論的形成過(guò)程，體會(huì )蘊含在其中的思想方法，增強學(xué)好數學(xué)的愿望和信心。對于抽象數學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過(guò)程，幫助學(xué)生克服機械記憶概念的學(xué)習方式

　　(2）鼓勵學(xué)生自主探索、自主學(xué)習

　　教師是學(xué)生學(xué)習的引導者、組織者，教師在教學(xué)中的作用必須以確定學(xué)生主體地位為前提，教學(xué)過(guò)程中要發(fā)揚民主，要鼓勵學(xué)生質(zhì)疑，提倡獨立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、閱讀自學(xué)等學(xué)習方式。對于教學(xué)中問(wèn)題情境的設計、教學(xué)過(guò)程的展開(kāi)、練習的安排等，要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，提出各自解決問(wèn)題的方案，并引導學(xué)生在與他人的交流中選擇合適的策略，使學(xué)生切實(shí)體會(huì )到自主探索數學(xué)的規律和問(wèn)題解決是學(xué)好數學(xué)的有效途徑

　�。�3）用教材教，而不是教教材

　　向量的數量積這一節新課標規定在2課時(shí)內完成2.3“平面向量的數量積”3小節的教學(xué)內容，為了貫徹新課標的精神，體現新課程理念，我們做了如下的`調整：把“兩個(gè)向量的夾角”這個(gè)概念放到2.1.1“向量的概念”中講，把向量在軸上的正射影這個(gè)概念放到2.2“向量的分解與向量的坐標運算”，平面向量的數量積的定義及平面向量的數量積的運算律到第一課時(shí)，把平面向量的數量積的性質(zhì)及平面向量的數量積坐標運算與度量公式放到第二課時(shí)。

　　我感覺(jué)不足的有：

　�。�1）教師應該如何準確的提出問(wèn)題

　　在教學(xué)中，我提出問(wèn)題，平面向量的數量積的定義中你認為應注意哪些問(wèn)題？這個(gè)問(wèn)題問(wèn)的不夠具體，學(xué)生不知道給如何回答。其實(shí)這個(gè)問(wèn)題，我也曾考慮過(guò)該如何問(wèn)，只是沒(méi)有找到更合適的提問(wèn)方法，能力有待加強。（2）教師如何把握“收”與“放”的問(wèn)題

　　何時(shí)放手讓學(xué)生思考，何時(shí)教師引導學(xué)生，何時(shí)教師講授，這是個(gè)值得思考的問(wèn)題。

　�。�3）教師要點(diǎn)撥到位

　　在學(xué)生出現問(wèn)題后，教師要及時(shí)點(diǎn)評加以總結，要重視思維的提升，提高學(xué)生的數學(xué)能力和素質(zhì)

《平面向量的數量積》8

　　尊敬的各位評委、各位老師：

　　大家好！

　　今天我說(shuō)課的題目是《平面向量的數量積》。下面我將從四個(gè)方面闡述我對本節課的分析和設計。

　　第一部分：教學(xué)內容分析：

　　1、教材的地位及作用：

　　將平面向量引入高中課程,是現行數學(xué)教材的重要特色之一。由于向量既能體現“形”的直觀(guān)位置特征，又具有“數”的良好運算性質(zhì)，是數形結合和轉換的橋梁。而這一切之所以能夠實(shí)現，平面向量的數量積功不可沒(méi)�！镀矫嫦蛄康�.數量積》是高一數學(xué)下冊第五章第六節的內容。平面向量數量積是中學(xué)數學(xué)的一個(gè)重要概念。它的性質(zhì)很多，應用很廣，是后面學(xué)習的重要基礎。本課是第一課時(shí)，學(xué)生對概念的理解尤為重要。

　　2、教學(xué)目標的設定：

　�。�1）知識目標：

　　平面向量數量積的定義及初步運用。

　�。�2）能力目標：

　　通過(guò)對平面向量數量積定義的剖析，培養學(xué)生分析問(wèn)題發(fā)現問(wèn)題能力，使學(xué)生的思維能力得到訓練。

　�。�3）情感目標：

　　通過(guò)本節課的學(xué)習，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣，體會(huì )學(xué)習的快樂(lè )。

　　3、教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數量積定義。

　　4、教學(xué)難點(diǎn)：平面向量的數量積定義及平面向量數量積的運用。

　　第二部分：教法分析：

　　采用啟發(fā)引導式與講練相結合，并借助多媒體教學(xué)手段，使學(xué)生理解平面向量數量積的定義，理解定義之后引導學(xué)生推導數量積的性質(zhì)，通過(guò)例題和練習加深學(xué)生對平面向量數量積定義的認識，初步掌握平面向量數量積定義的運用。

《平面向量的數量積》9

　　《2.4 平面向量的數量積》測試題

　　一、選擇題

　　1.已知向量滿(mǎn)足，且，則與的夾角為( ).

　　A. B. C. D.

　　考查目的：考查平面向量的數量積的意義.

　　答案：C.

　　解析：根據平面向量數量積的意義，及可得，.

　　2.已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則等于( ).

　　A. B. C. D.(1，0)

　　考查目的：考查平面向量數量積的坐標運算.

　　答案：B.

　　解析：利用排除法. ∵在D中，，∴D不合題意；∵在C中向量不是單位向量，∴也不符題意；∵A是向量會(huì )使得，同樣不合題意，答案只有選B.

　　3.(20xx四川理)設點(diǎn)M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線(xiàn)BC外，，，則( ).

　　A.8 B.4 C.2 D.1

　　考查目的：考查平面向量加、減法運算的幾何意義，以及數形結合思想.

　　答案：C.

　　解析：∵，∴是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形.又∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴.

　　二、填空題

　　4.已知，則與方向相同的單位向量為 .

　　考查目的：考查方向相同的單位向量的求法和運算.

　　答案：.

　　解析：∵，∴與方向相同的單位向量.

　　5.已知：，與的夾角為，則在方向上的投影為 .

　　考查目的：考查平面向量投影的概念與計算.

　　答案：.

　　解析：在方向上的投影為.

　　6.(20xx天津文)若等邊的邊長(cháng)為，平面內一點(diǎn)M滿(mǎn)足，則＝ .

　　考查目的：考查平面向量的加、減法運算和平面向量的數量積運算.

　　答案：-2.

　　解析：∵，∴，，∴.

　　三、解答題

　　7.已知，若，試求實(shí)數的值.

　　考查目的'：考查平面向量的數量積運算和平面向量垂直的性質(zhì)等.

　　答案：.

　　解析：∵，∴，即，得.

　　8.已知向量，，.

　�、徘蟮淖钚≈导跋鄳�的值；

　�、迫襞c共線(xiàn)，求實(shí)數.

　　考查目的：考查平面向量的坐標運算與求函數最值等的綜合運算.

　　解析：⑴∵，∴，∴，當且僅當時(shí)取等號；⑵∵，與共線(xiàn)，∴，∴.

【《平面向量的數量積》】相關(guān)文章：

《平面向量的數量積》04-01

厚積厚發(fā)作文07-27

厚積而薄發(fā)作文09-24

厚積方能薄發(fā)作文10-03

厚積才能薄發(fā)作文09-01

如何才能提升網(wǎng)站PV數量05-01

積跬步至千里作文09-23

唯積跬步至千里作文04-29

省考行測復習數量關(guān)系題02-28