高中數學(xué)幾類(lèi)不同增長(cháng)的函數模型練習題
一、選擇題
1．下列函數中，增長(cháng)速度最慢的是()
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
[答案] B
2．下列函數中，隨x的增大，增長(cháng)速度最快的是()
A．y＝50(xZ) B．y＝1 000x
C．y＝0.42x－1 D．y＝1100 000ex
[答案] D
[解析] 指數函數增長(cháng)速度最快，且e2，因而ex增長(cháng)最快．
3．(2013～2014長(cháng)沙高一檢測)如圖，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自變量x的取值范圍是()
A．x＞0 B．x＞2
C．x＜2 D．0＜x＜2
[答案] D
4．以下四種說(shuō)法中，正確的是()
A．冪函數增長(cháng)的速度比一次函數增長(cháng)的速度快
B．對任意的x＞0，xn＞logax
C．對任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，當x＞x0時(shí)，總有ax＞xn＞logax
[答案] D
[解析] 對于A(yíng)，冪函數與一次函數的.增長(cháng)速度受冪指數及一次項系數的影響，冪指數與一次項系數不確定，增長(cháng)幅度不能比較；對于B，C，當0＜a＜1時(shí)，顯然不成立．當a＞1，n＞0時(shí)，一定存在x0，使得當x＞x0時(shí)，總有ax＞xn＞logax，但若去掉限制條件“a＞1，n＞0”，則結論不成立．
5．三個(gè)變量y1，y2，y3隨著(zhù)變量x的變化情況如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1715 3645 6655
y2 5 29 245 2189 19685 177149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
則關(guān)于x分別呈對數函數、指數函數、冪函數變化的變量依次為()
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
[答案] C
[解析] 通過(guò)指數函數、對數函數、冪函數等不同函數模型的增長(cháng)規律比較可知，對數函數的增長(cháng)速度越來(lái)越慢，變量y3隨x的變化符合此規律；指數函數的增長(cháng)速度越來(lái)越快，y2隨x的變化符合此規律；冪函數的增長(cháng)速度介于指數函數與對數函數之間，y1隨x的變化符合此規律，故選C.
6．四個(gè)人賽跑，假設他們跑過(guò)的路程fi(x)(i{1,2,3,4})和時(shí)間x(x＞1)的函數關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數關(guān)系是()
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
[答案] D
[解析] 顯然四個(gè)函數中，指數函數是增長(cháng)最快的，故最終跑在最前面的人具有的函數關(guān)系是f4(x)＝2x，故選D.
二、填空題
7．現測得(x，y)的兩組對應值分別為(1,2)，(2,5)，現有兩個(gè)待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應值為(3,10.2)，則應選用________作為函數模型．
[答案] 甲
8．某食品加工廠(chǎng)生產(chǎn)總值的月平均增長(cháng)率為p，則年平均增長(cháng)率為_(kāi)_______．
[答案] (1＋p)12－1
9．在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗中，溫度y(℃)隨著(zhù)時(shí)間t(分)變化的情況由計算機記錄后顯示的圖象如圖所示：現給出下列說(shuō)法________
�、偾�5分鐘溫度增加越來(lái)越快；
�、谇�5分鐘溫度增加越來(lái)越慢；
�、�5分鐘后溫度保持勻速增加；
�、�5分鐘后溫度保持不變．
[答案] ②③
[解析] 前5分鐘，溫度y隨x增加而增加，增長(cháng)速度越來(lái)越慢；
5分鐘后，溫度y隨x的變化曲線(xiàn)是直線(xiàn)，即溫度勻速增加．故說(shuō)法②③正確．
三、解答題
10．(2013～2014沈陽(yáng)高一檢測)某種新栽樹(shù)木5年成材，在此期間年生長(cháng)率為20%，以后每年生長(cháng)率為x%(x＜20)．樹(shù)木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以繼續讓其生長(cháng)，哪種方案更好？
[解析] 只需考慮10年的情形．設新樹(shù)苗的木材量為Q，則連續生長(cháng)10年后木材量為：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木才量為2Q(1＋20%)5，畫(huà)出函數y＝(1＋x%)5與y＝2的圖象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故當x＜14.87時(shí)就考慮重栽，否則讓它繼續生長(cháng)．
11．有甲、乙兩個(gè)水桶，開(kāi)始時(shí)水桶甲中有a升水，水桶乙中無(wú)水，水通過(guò)水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分鐘后剩余的水符合指數衰減曲線(xiàn)y＝ae－nt，假設過(guò)5分鐘時(shí)水桶甲和水桶乙的水相等，求再過(guò)多長(cháng)時(shí)間水桶甲中的水只有a8.
[解析] 由題意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝12，設再過(guò)t分鐘水桶甲中的水只有a8，得ae－n(t＋5)＝a8，
所以(12)t＋55＝(e－5n)t＋55＝e－n(t＋5)＝18＝(12)3，
t＋55＝3，
t＝10.
再過(guò)10分鐘水桶甲中的水只有a8.
12．某地區今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數分別為52，54,58.為了預測以后各月的患 病人數，甲選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙選擇了模型y＝pqx＋r，其中y為患病人數，x為月份數，a，b，c，p，q，r都是常數．結果4月，5月，6月份的患病人數分別為66,82,115，你認為誰(shuí)選擇的模型較好？
[解析] 依題意：
得a12＋b1＋c＝52，a22＋b2＋c＝54，a32＋b3＋c＝58，
即a＋b＋c＝52，4a＋2b＋c＝54，9a＋3b＋c＝58，解得a＝1，b＝－1，c＝52.
甲：y1＝x2－x＋52，
又pq1＋r＝52 ①pq2＋r＝54 ②pq3＋r＝58 ③
�、伲�，得pq2－pq1＝2 ④
�、冢�，得pq3－pq2＝4 ⑤
�、茛�，得q＝2，
將q＝2代入④式，得p＝1，
將q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，
乙：y2＝2x＋50，
計算當x＝4時(shí)，y1＝64，y2＝66；
當x＝5時(shí)，y1＝72，y2＝82；
當x＝6時(shí)，y1＝82，y2＝114.
可見(jiàn)，乙選擇的模型較好．
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