初中函數應用題及答案

　　1、(2014濟寧第8題)“如果二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數根.”請根據你對這句話(huà)的理解，解決下面問(wèn)題

　　A.m

　　【考點(diǎn)】：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn).

　　【分析】：依題意畫(huà)出函數y=(x﹣a)(x﹣b)圖象草圖，根據二次函數的增減性求解.

　　【解答】：解：依題意，畫(huà)出函數y=(x﹣a)(x﹣b)的圖象，

　　函數圖象為拋物線(xiàn)，開(kāi)口向上，與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標分別為a，b(a

　　方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0轉化為(x﹣a)(x﹣b)=1，方程的兩根是拋物線(xiàn)y=(x﹣a)(x﹣b)與直線(xiàn)y=1的兩個(gè)交點(diǎn).

　　由拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，則在對稱(chēng)軸左側，y隨x增大而減少

　　故選A.

　　【點(diǎn)評】：本題考查了二次函數與一元二次方程的關(guān)系，考查了數形結合的數學(xué)思想.解題時(shí)，畫(huà)出函數草圖，由函數圖象直觀(guān)形象地得出結論，避免了繁瑣復雜的計算.

　　2、(2014年山東泰安第20題)二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c為常數，且a0)中的x與y的部分對應值如下表：

　　X﹣1 0 1 3

　　y﹣1 3 5 3

　　下列結論：

　　(1)ac

　　(2)當x1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小.

　　(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個(gè)根;

　　(4)當﹣10.

　　其中正確的個(gè)數為()

　　A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

　　【分析】：根據表格數據求出二次函數的對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1.5，然后根據二次函數的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解.

　　【解答】：由數據可得出：x=1時(shí)，y=5值最大，所以二次函數y=ax2+bx+c開(kāi)口向下，a又x=0時(shí)，y=3，所以c=30，所以ac0，故(1)正確;

　　∵二次函數y=ax2+bx+c開(kāi)口向下，且對稱(chēng)軸為x==1.5，當x1.5時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故(2)錯誤;

　　∵x=3時(shí)，y=3，9a+3b+c=3，∵c=3，9a+3b+3=3，9a+3b=0，3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個(gè)根，故(3)正確;

　　∵x=﹣1時(shí)，ax2+bx+c=﹣1，x=﹣1時(shí)，ax2+(b﹣1)x+c=0，∵x=3時(shí)，ax2+(b﹣1)x+c=0，且函數有最大值，當﹣10，故(4)正確.

　　故選B.

　　【點(diǎn)評】：本題考查了二次函數的性質(zhì)，二次函數圖象與系數的關(guān)系，拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，二次函數與不等式，有一定難度.熟練掌握二次函數圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

　　3、(2014年山東煙臺第11題)二次函數y=ax2+bx+c(a0)的部分圖象如圖，圖象過(guò)點(diǎn)(﹣1，0)，對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，下列結論：

　�、�4a+b=0;②9a+c③8a+7b+2c④當x﹣1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大.

　　其中正確的結論有()

　　A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

　　【分析】：根據拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣=2，則有4a+b=0;觀(guān)察函數圖象得到當x=﹣3時(shí)，函數值小于0，則9a﹣3b+c0，即9a+c由于x=﹣1時(shí)，y=0，則a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根據拋物線(xiàn)開(kāi)口向下得a0，于是有8a+7b+2c由于對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，根據二次函數的性質(zhì)得到當x2時(shí)，y隨x的增大而減小.

　　【解答】：∵拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣=2，b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正確;

　　∵當x=﹣3時(shí)，y0，9a﹣3b+c0，即9a+c3b，所以②錯誤;

　　∵拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(﹣1，0)，a﹣b+c=0，

　　而b=﹣4a，a+4a+c=0，即c=﹣5a，8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，

　　∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，a0，8a+7b+2c0，所以③正確;

　　∵對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，

　　當﹣12時(shí)，y隨x的增大而減小，所以④錯誤.故選B.

　　【點(diǎn)評】：本題考查了二次函數圖象與系數的關(guān)系：二次函數y=ax2+bx+c(a0)，二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小，當a0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口;當a0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口;一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置，當a與b同號時(shí)(即ab0)，對稱(chēng)軸在y軸左;當a與b異號時(shí)(即ab0)，對稱(chēng)軸在y軸右;常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn).拋物線(xiàn)與y軸交于(0，c);拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數由△決定，△=b2﹣4ac0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

　　4、(2014威海第11題)已知二次函數y=ax2+bx+c(a0)的`圖象，則下列說(shuō)法：

　�、賑=0;②該拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=﹣1;③當x=1時(shí)，y=2a;④am2+bm+a0(m﹣1).

　　其中正確的個(gè)數是()

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【考點(diǎn)】：二次函數圖象與系數的關(guān)系.

　　【分析】：由拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據對稱(chēng)軸及拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結論進(jìn)行判斷.

　　【解答】：解：拋物線(xiàn)與y軸交于原點(diǎn)，c=0，故①正確;

　　該拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是：，直線(xiàn)x=﹣1，故②正確;

　　當x=1時(shí)，y=2a+b+c，

　　∵對稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=﹣1，

　　，b=2a，

　　又∵c=0，

　　y=4a，故③錯誤;

　　x=m對應的函數值為y=am2+bm+c，

　　x=﹣1對應的函數值為y=a﹣b+c，又x=﹣1時(shí)函數取得最小值，

　　a﹣b+c

　　∵b=2a，

　　am2+bm+a0(m﹣1).故④正確.

　　故選：C.

　　【點(diǎn)評】：本題考查了二次函數圖象與系數的關(guān)系.二次函數y=ax2+bx+c(a0)系數符號由拋物線(xiàn)開(kāi)口方向、對稱(chēng)軸、拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數確定.

　　5、(2014寧波第12題)已知點(diǎn)A(a﹣2b，2﹣4ab)在拋物線(xiàn)y=x2+4x+10上，則點(diǎn)A關(guān)于拋物線(xiàn)對稱(chēng)軸的對稱(chēng)點(diǎn)坐標為()

　　A.(﹣3，7)B.(﹣1，7)C.(﹣4，10)D.(0，10)

　　【考點(diǎn)】：二次函數圖象上點(diǎn)的坐標特征;坐標與圖形變化-對稱(chēng).

　　【分析】：把點(diǎn)A坐標代入二次函數解析式并利用完全平方公式整理，然后根據非負數的性質(zhì)列式求出a、b，再求出點(diǎn)A的坐標，然后求出拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸，再根據對稱(chēng)性求解即可.

　　【解答】：解：∵點(diǎn)A(a﹣2b，2﹣4ab)在拋物線(xiàn)y=x2+4x+10上，

　　(a﹣2b)2+4(a﹣2b)+10=2﹣4ab，

　　a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，

　　(a+2)2+4(b﹣1)2=0，

　　a+2=0，b﹣1=0，

　　解得a=﹣2，b=1，

　　a﹣2b=﹣2﹣21=﹣4，

　　2﹣4ab=2﹣4(﹣2)1=10，

　　點(diǎn)A的坐標為(﹣4，10)，

　　∵對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣=﹣2，

　　點(diǎn)A關(guān)于對稱(chēng)軸的對稱(chēng)點(diǎn)的坐標為(0，10).

　　故選D.

　　【點(diǎn)評】：本題考查了二次函數圖象上點(diǎn)的坐標特征，二次函數的對稱(chēng)性，坐標與圖形的變化﹣對稱(chēng)，把點(diǎn)的坐標代入拋物線(xiàn)解析式并整理成非負數的形式是解題的關(guān)鍵.

　　6、(2014溫州第10題)矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，AB∥x軸，AD∥y軸，且對角線(xiàn)的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合.在邊AB從小于A(yíng)D到大于A(yíng)D的變化過(guò)程中，若矩形ABCD的周長(cháng)始終保持不變，則經(jīng)過(guò)動(dòng)點(diǎn)A的反比例函數y=(k0)中k的值的變化情況是()

　　A.一直增大B.一直減小C.先增大后減小D.先減小后增大

　　【考點(diǎn)】：反比例函數圖象上點(diǎn)的坐標特征;矩形的性質(zhì).

　　【分析】：設矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周長(cháng)始終保持不變，則a+b為定值.根據矩形對角線(xiàn)的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合及反比例函數比例系數k的幾何意義可知k=ABAD=ab，再根據a+b一定時(shí)，當a=b時(shí)，ab最大可知在邊AB從小于A(yíng)D到大于A(yíng)D的變化過(guò)程中，k的值先增大后減小.

　　【解答】：解：設矩形ABCD中，AB=2a，AD=2B.

　　∵矩形ABCD的周長(cháng)始終保持不變，

　　2(2a+2b)=4(a+b)為定值，

　　a+b為定值.

　　∵矩形對角線(xiàn)的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合

　　k=ABAD=ab，

　　又∵a+b為定值時(shí)，當a=b時(shí)，ab最大，

　　在邊AB從小于A(yíng)D到大于A(yíng)D的變化過(guò)程中，k的值先增大后減小.

　　故選C.

　　【點(diǎn)評】：本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數比例系數k的幾何意義及不等式的性質(zhì)，有一定難度.根據題意得出k=ABAD=ab是解題的關(guān)鍵.

　　7、(2014年山東泰安第17題)已知函數y=(x﹣m)(x﹣n)(其中m

　　A.m+n0 B m+n0 C.m-n0 D.m-n0

　　【分析】：根據二次函數圖象判斷出m﹣1，n=1，然后求出m+n0，再根據一次函數與反比例函數圖象的性質(zhì)判斷即可.

　　【解答】：m﹣1，n=1，所以，m+n0，

　　所以，一次函數y=mx+n經(jīng)過(guò)第二四象限，且與y軸相交于點(diǎn)(0，1)，

　　反比例函數y=的圖象位于第二四象限，

　　縱觀(guān)各選項，只有C選項圖形符合.故選C.

　　【點(diǎn)評】：本題考查了二次函數圖象，一次函數圖象，反比例函數圖象，觀(guān)察二次函數圖象判斷出m、n的取值是解題的關(guān)鍵.

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