高一《兩角和與差三角函數》教學(xué)設計
作為一名無(wú)私奉獻的老師，往往需要進(jìn)行教學(xué)設計編寫(xiě)工作，教學(xué)設計是實(shí)現教學(xué)目標的計劃性和決策性活動(dòng)。優(yōu)秀的教學(xué)設計都具備一些什么特點(diǎn)呢？以下是小編為大家收集的高一《兩角和與差三角函數》教學(xué)設計，歡迎閱讀與收藏。
【教材分析】
本節是北師大版高中必修四第三章2.1和2.2兩角和與差的正弦、余弦函數（書(shū)第116頁(yè)-118頁(yè)內容），本節是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了任意角的三角函數和平面向量知識的基礎上進(jìn)一步研究?jì)山呛团c差的三角函數與單角的三角函數關(guān)系，它既是三角函數和平面向量知識的延伸，又是后繼內容兩角和與差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知識基礎，起著(zhù)承上啟下的作用，對于三角函數式的化簡(jiǎn)、求值和三角恒等式的證明等有著(zhù)重要的支撐。本課時(shí)主要講授運用平面向量的數量積推導兩角差的余弦公式以及兩角和與差的正、余弦公式的運用。
【學(xué)情分析】
學(xué)生在本節之前已經(jīng)學(xué)習了三角函數和平面向量這兩章知識內容，這為本節課的學(xué)習作了很多的知識鋪墊，學(xué)生也有了一定的數學(xué)推理能力和運算能力。本節教學(xué)內容需要學(xué)生已經(jīng)具有單位圓中的任意角的三角概念和平面向量的數量積的表示等方面的知識儲備，這將有利于進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展和數學(xué)思想的形成。
【課程資源】
高中數學(xué)北師大版必修四教材；多媒體投影儀
【教學(xué)目標】
1、掌握用向量方法推導兩角差的余弦公式，通過(guò)簡(jiǎn)單運用，使學(xué)生初步理解公式的結構及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎；
2、讓學(xué)生經(jīng)歷兩角差的余弦公式的探索、發(fā)現過(guò)程,培養學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、探索、研究能力.
3、激發(fā)學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣和積極性，實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習態(tài)度和勇于創(chuàng )新的精神.
【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】
教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式的推導及運用
教學(xué)難點(diǎn)：向量法推導兩角差的余弦公式及公式的靈活運用
�。ㄔO計依據：平面內兩向量的數量積的兩種形式的應用是本節課“兩角和與差的余弦公式推導”的主要依據，在后繼知識中也有廣泛的應用，所以是本節的一個(gè)重點(diǎn)。又由于“兩角和與差的余弦公式的推導和應用”對后幾節內容能否掌握具有決定意義，在三角變換、三角恒等式的證明、三角函數式的化簡(jiǎn)求值等方面有著(zhù)廣泛的應用，因此也是本節的一個(gè)重點(diǎn)。由于其推導方法的特殊性和推導過(guò)程的復雜性，所以也是一個(gè)難點(diǎn)。）
【教學(xué)方法】
情景教學(xué)法；問(wèn)題教學(xué)法；直觀(guān)教學(xué)法；啟發(fā)發(fā)現法。
【學(xué)法指導】、
1、注意任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標、平面向量的坐標的表示以及平面向量的數量積的兩種表示形式的復習為兩角差的余弦的推導做必要的準備，并讓學(xué)生體會(huì )感悟向量在解決數學(xué)問(wèn)題中的工具作用(體現學(xué)習過(guò)程中循序漸進(jìn)，溫故知新的認知規律。)；
2、突出誘導公式在三角函數名稱(chēng)變換中的作用以及變角思想讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì )數學(xué)的化歸思想。
3、讓學(xué)生注意觀(guān)察、對比兩角和與差的余弦公式中正弦、余弦的順序；角的順序關(guān)系，培養學(xué)生的觀(guān)察能力，并通過(guò)觀(guān)察掌握公式的特點(diǎn)。
【教學(xué)過(guò)程】
教學(xué)流程為：創(chuàng )設情境----提出問(wèn)題----探索嘗試----啟發(fā)引導----解決問(wèn)題。
�。ㄒ唬﹦�(chuàng )設情境，揭示課題
問(wèn)題1：同學(xué)們都知道，，試問(wèn)是否與相等？大家可以猜想是不是等于呢？下面我們就一起探討兩角差的'余弦公式
【設計意圖】通過(guò)問(wèn)題情境，自然流暢地提出問(wèn)題，揭示課題，引發(fā)學(xué)生思考。使學(xué)生目標明確、迅速進(jìn)入新知學(xué)習。
�。ǘ﹩�(wèn)題探究，新知構建
問(wèn)題2：你能用與的三角函數值表示出這兩個(gè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)A和B的坐標嗎？怎樣表示？
【師生活動(dòng)】畫(huà)單位圓在直角坐標系中畫(huà)出單位圓并作出與角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，引導學(xué)生利用三角函數值表示出交點(diǎn)坐標。
【設計意圖】通過(guò)復習使學(xué)生熟悉基礎知識、特別是用角的正、余弦表示特殊點(diǎn)的坐標，為新課的推進(jìn)做準備。
問(wèn)題3：如何計算向量的數量積？
【師生活動(dòng)】引導學(xué)生觀(guān)察是的夾角，引發(fā)學(xué)生對向量的思考，并及時(shí)啟發(fā)學(xué)生復習向量的數量積的的兩種表示。
【設計意圖】平復習面內兩向量的數量積的幾何法與代數法兩種表示，從而使“兩角差的余弦公式”的推證水到渠成。
問(wèn)題4：計算cos15°和cos75°的值。
分析：本題關(guān)鍵是將分成45°與30°的和或者分解成45°與15°的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解。(學(xué)生板演)
【師生活動(dòng)】引導學(xué)生初步應用公式
【設計意圖】讓學(xué)生熟練兩角和與差的余弦公式，體會(huì )學(xué)生公式的實(shí)際應用價(jià)值，即：將非特殊角轉化為特殊角的和與差。并引發(fā)學(xué)生對兩角和的余弦公式的推證興趣。
問(wèn)題7：同學(xué)們都知道誘導公式cos（-β）=cosβ，sin（-β）=-sinβ，那么你會(huì )推導出cos（α+β）=？
【師生活動(dòng)】學(xué)生在老師的引導下自主推證兩角和的余弦公式。
【設計意圖】讓學(xué)生在學(xué)習中體會(huì )感受化歸思想和類(lèi)比思想在新知識發(fā)現中的作用。
問(wèn)題8：同學(xué)們已學(xué)過(guò)sinα=cos(-α)，那么你會(huì )運用這個(gè)公式推證出sin（α-β）和sin（α+β）嗎？
【師生活動(dòng)】教師引導學(xué)生推導公式。
【設計意圖】新知構建并體會(huì )轉化思想的應用。
問(wèn)題9：勾畫(huà)書(shū)中兩角和與差的三角函數公式并觀(guān)察它們有什么特點(diǎn)？
兩角和與差的余弦：
同名之積相加減，運算符號左右反
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
兩角和與差的正弦：
異名之積相加減，運算符號兩相同
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
【師生活動(dòng)】學(xué)生總結公式特點(diǎn)，學(xué)習小組交流，教師總結公式結構特征。
【設計意圖】讓學(xué)生熟悉并掌握公式特征，如：教的順序、函數的順序、符號的規律。
�。ㄈ┲R應用，熟悉公式
例2、（1）求sin（-25π＼１２）的值；
�。�2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．
【設計意圖】進(jìn)一步熟悉誘導公式、兩角和與差的三角函數公式的特點(diǎn)及正逆應用。
例3、已知求sin（α+β），cos（α-β）的值。
思維點(diǎn)撥：觀(guān)察公式本題已知條件應先計算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數的平方關(guān)系，并注意α，β的取值范圍來(lái)求解．
【設計意圖】訓練學(xué)生思維的有序性，例如在面對問(wèn)題時(shí)，要注意先認真分析條件，明確使用公式時(shí)要有什么準備，準備工作怎么進(jìn)行等。還要重視思維過(guò)程的表述，不能只看最后結果而不顧過(guò)程表述的準確性、簡(jiǎn)潔性等。在教學(xué)過(guò)程中，對例3適當延伸，目的要求學(xué)生正確使用分類(lèi)討論的思想方法，在表述上也對學(xué)生有了更高的要求。
�。ㄋ模┳灾魈骄�，深化理解，拓展思維
變式訓練1：如何計算？
【反思】本節學(xué)習的兩角和與差的三角函數公式對任意角也成立嗎？
變式訓練2:例3中如果去掉條件，對結果和求解過(guò)程會(huì )有什么影響？
變式訓練3：下列等式成立嗎？
cos（α+β）=cosα+cosβ
cos（α-β）=cosα-cosβ
sin（α+β）=sinα+sinβ
sin（α-β）=sinα-sinβ
【設計意圖】通過(guò)變式訓練與討論進(jìn)一步培養學(xué)生自主探究、合作學(xué)習交流的能力，以熟悉公式的變形運用并掌握兩角和與差的正余弦公式的特征及應用。
�。ㄎ澹┬〗Y反思，評價(jià)反饋
1、本節學(xué)習的內容有哪些？
2、兩角和與差的三角函數公式有什么特點(diǎn)？運用兩角和與差的三角函數公式可以解決哪些問(wèn)題？
3、你通過(guò)本節學(xué)習有哪些收獲？
【設計意圖】進(jìn)一步熟悉公式，加深學(xué)生對公式的理解和認識，培養學(xué)生的歸納總結能力和交流表達能力，讓學(xué)生獲得成功體驗。
�。┳鳂I(yè)布置，練習鞏固
書(shū)面：課本第121頁(yè)A組1中間兩題；2（2）（3）（4）B組2（2）
課后研究：課本第118頁(yè)練習5;
【設計意圖】鞏固和理解知識，掌握兩角和與差的三角函數公式。并引發(fā)學(xué)生對新知學(xué)習與探求的欲望和興趣。
【板書(shū)設計】
兩角和與差的正、余弦函數
公式
推導
例1
例2
例3
【教后反思】
本節教學(xué)設計首先通過(guò)問(wèn)題情景闡述了兩角差的余弦公式的產(chǎn)生背景，然后通過(guò)組織學(xué)生分析，討論，并借助于單位圓中以原點(diǎn)為起點(diǎn)的兩向量的數量積的兩種表示，對α大于β使，cos(α－β)給出證明，進(jìn)而用向量知識探究任意角的情形。這些均體現了數學(xué)中從特殊到一般的思想方法，符合新課改的基本理念。同時(shí)，例題1、2、3由淺入深，讓學(xué)生在問(wèn)題中探究，在探究中建構新知。使學(xué)生在已有基礎上，充分利用歸納、類(lèi)比等方法激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望，建立Cα±β模型，有利于學(xué)生數學(xué)思維水平的提高，同時(shí)及時(shí)鞏固，應用，拓展延伸，加強了學(xué)生對新知的掌握和靈活運用。給學(xué)生思維以適當的引導并不一定會(huì )降低學(xué)生思維的層次，反而能夠提高思維的有效性，從而體現教師主導作用和學(xué)生主體作用的和諧統一。但課后發(fā)現小結倉促，如果能再引導學(xué)生自我小結、反思�？赡軙�(huì )更好．
【關(guān)于教學(xué)設計的思考】
1、本節課授課內容為《普通高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)·數學(xué)（4）》（北師大版）第三章第一節，本節課的教學(xué)重點(diǎn)是：兩角和與差的余弦公式的推導和應用是本節的又一個(gè)重點(diǎn)，也是本節的一個(gè)難點(diǎn)。所以這節課效果的好壞，體現在對這兩點(diǎn)實(shí)現的程度上，因此，例題、練習、作業(yè)應用繞這兩方面設計。而平面內兩向量的數量積的兩種形式的應用又是推導兩角差的余弦公式的關(guān)鍵；因此在復習，平面內兩向量的數量積的兩種形式是本節課必要的準備。
2、本節課采用“創(chuàng )設情境----提出問(wèn)題----探索嘗試----啟發(fā)引導----解決問(wèn)題”的過(guò)程來(lái)實(shí)現教學(xué)目標。有利于知識產(chǎn)生、發(fā)展、解決這一認知過(guò)程的完整體現。在教學(xué)手段上使用多媒體技術(shù)，有效增加課堂容量。在教學(xué)過(guò)程環(huán)節，采用問(wèn)題教學(xué)，再逐步展開(kāi)的方式，能夠充分調動(dòng)學(xué)生的學(xué)習積極性，讓學(xué)生的探索具有明確的目的性，減少盲目性。在利用平面內兩向量的數量積的幾何形式、代數形式建立等式，而得到兩角差的余弦公式后，利用代數思想推出兩角和的余弦公式，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì )數學(xué)思想的深刻性。通過(guò)對公式的對比，可以加深學(xué)生對公式特征的印象，同時(shí)體會(huì )公式的線(xiàn)形美與對稱(chēng)美，給學(xué)生以美的陶冶。作業(yè)的布置中，突出了學(xué)生學(xué)習的個(gè)體差異現實(shí)，使學(xué)有余力的學(xué)生產(chǎn)生挑戰的心理感受，也為下一節內容的學(xué)習做準備。
3、數學(xué)的學(xué)習，主要是培養人的思維課程，強調思維構造，以問(wèn)題解決為主的課程，既注重人的智慧獲得，又注重人的情感發(fā)展，因而在教學(xué)中，應注意“完整的人”的數學(xué)教育，不搞“以智力開(kāi)發(fā)為主的教育”，使學(xué)生成為真正的人。因此在課堂教學(xué)中，教學(xué)設計應從學(xué)生出發(fā)，給學(xué)生更多的自由，讓他們真正參與，注重學(xué)習的過(guò)程，尤其重視以學(xué)生為主的數學(xué)活動(dòng)，注重學(xué)生的自我完善，自我發(fā)展，不把學(xué)生當成接受知識的容器，要教會(huì )學(xué)生學(xué)會(huì )學(xué)習，尤其是有意義的接受學(xué)習和發(fā)現學(xué)習，“授人以魚(yú)，不如授之以漁，授人以魚(yú)祗救一時(shí)之及，授人以漁則可解一生之需”。在數學(xué)教育中，注重培養學(xué)生的自信，自重，自尊，使他們充滿(mǎn)希望和成功，促進(jìn)其健康人格的形成。只有這樣，才能讓數學(xué)課更有生機和人性，才能學(xué)生真正成為學(xué)習的主人。
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