不等關(guān)系與不等式教案
在教學(xué)工作者開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)前，總不可避免地需要編寫(xiě)教案，編寫(xiě)教案助于積累教學(xué)經(jīng)驗，不斷提高教學(xué)質(zhì)量。教案應該怎么寫(xiě)呢？以下是小編收集整理的不等關(guān)系與不等式教案，歡迎閱讀與收藏。
不等關(guān)系與不等式教案1
【教學(xué)目標】
1.通過(guò)具體情境讓學(xué)生感受和體驗現實(shí)世界和日常生活中存在著(zhù)大量的不等關(guān)系，鼓勵學(xué)生用數學(xué)觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行觀(guān)察、歸納、抽象，使學(xué)生感受數學(xué)、走進(jìn)數學(xué)、改變學(xué)生的數學(xué)學(xué)習態(tài)度。
2．建立不等觀(guān)念，并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系。
3．了解不等式或不等式組的實(shí)際背景。
4.能用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
【重點(diǎn)難點(diǎn)】
重點(diǎn):
�。�.通過(guò)具體的問(wèn)題情景，讓學(xué)生體會(huì )不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性。
�。�.用不等式或不等式組表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，并用不等式或不等式組研究含有簡(jiǎn)單的不等關(guān)系的問(wèn)題。
3.理解不等式或不等式組對于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值。
難點(diǎn):
1.用不等式或不等式組準確地表示不等關(guān)系。
2.用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的含有不等關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題。
【方法手段】
1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數學(xué)模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)。
2.教師提供問(wèn)題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導作用和學(xué)生的主體作用。
3.設計教典型的現實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣和積極性。
【教學(xué)過(guò)程】
教學(xué)環(huán)節
教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
設計意圖
導入新課
日常生活中，同學(xué)們發(fā)現了哪些數量關(guān)系。你能舉出一些例子嗎？
實(shí)例1.某天的天氣預報報道，最高氣溫35℃，最低氣溫29℃。
實(shí)例2.若一個(gè)數是非負數，則這個(gè)數大于或等于零。
實(shí)例3.兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。
實(shí)例4.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
引導學(xué)生想生活中的例子和學(xué)過(guò)的數學(xué)中的例子。在老師的引導下，學(xué)生肯定會(huì )迫不及待的能說(shuō)出很多個(gè)例子來(lái)。即活躍了課堂氣氛，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣。
推進(jìn)新課
同學(xué)們所舉的這些例子聯(lián)系了現實(shí)生活，又考慮到數學(xué)上常見(jiàn)的數量關(guān)系，非常好。而且大家已經(jīng)考慮到本節課的標題《不等關(guān)系與不等式》，所舉的實(shí)例都是反映不等量的關(guān)系。
�。ㄏ旅胬秒娔X投影展示兩個(gè)實(shí)例）
實(shí)例5：限時(shí)40km/h的路標，指示司機在前方路段行使時(shí)，應使汽車(chē)的速度v不超過(guò)40km/h。
實(shí)例6：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應不少于2.3%.
同學(xué)們認真觀(guān)看顯示屏幕上老師所舉的例子。
讓學(xué)生們邊看邊思考：生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數量關(guān)系來(lái)描述
過(guò)程引導
能夠發(fā)現身邊的數學(xué)當然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數學(xué)這門(mén)學(xué)科，但是我們還要能用數學(xué)的眼光、數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)、進(jìn)行觀(guān)察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，那么我們用什么知識來(lái)表示這些不等關(guān)系呢？
什么是不等式呢？
用大屏幕展示一組不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.
能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái)，也就是建立不等式數學(xué)模型的過(guò)程通過(guò)對不等式數學(xué)模型的研究，反過(guò)來(lái)作用于現實(shí)生活，這才是學(xué)習數學(xué)的最終目的。
思考并回答老師的問(wèn)題：可以用不等式或不等式組來(lái)表示不等關(guān)系。
經(jīng)過(guò)老師的啟發(fā)和點(diǎn)撥，學(xué)生可以自己總結出：用不等號將兩個(gè)解析試連接起來(lái)所成的式子叫不等式。
目的是讓學(xué)生回憶不等式的一些基本形式，并說(shuō)明不等號≤，≥的含義，是或的關(guān)系�；貞浟瞬坏仁降母拍�，不等式組學(xué)生自然而然就清楚了。
此時(shí)學(xué)生已經(jīng)迫不及待地想說(shuō)出自己的觀(guān)點(diǎn)了。
合作探究
�。ㄒ唬�。下面我們把上述實(shí)例中的不等量的關(guān)系用不等式或不等式組一一的表示出來(lái)，那應該怎么表示呢？
這兩位同學(xué)的觀(guān)點(diǎn)是否正確？
老師要表?yè)P學(xué)生：“很好！這樣思考問(wèn)題很?chē)烂��！睉撚貌坏仁浇M來(lái)表示此實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系，也可以用“且”的形式來(lái)表達。
�。ǘ�。問(wèn)題一：設點(diǎn)A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點(diǎn)。
請同學(xué)們用不等式或不等式組來(lái)表示出此問(wèn)題中的不等量的關(guān)系。
老師提示：借助于圖形，這個(gè)問(wèn)題是不是可以解決？
�。ㄏ旅孀寣W(xué)生板演，結合三角形草圖來(lái)表達）
問(wèn)題（二）：某種雜志原以每本2。5元的價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本，據市場(chǎng)調查，若單價(jià)每提高0。1元，銷(xiāo)售量就可能相應減少20xx本。若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設為x元，怎樣用不等式表示銷(xiāo)售的總收入仍不低于20萬(wàn)元呢？
是不是還有其他的思路？
為什么可以這樣設？
很好，請繼續講。
這位學(xué)生回答的很好，表述得很準確。請同學(xué)們對兩種解法作比較。
問(wèn)題（三）：某鋼鐵廠(chǎng)要把長(cháng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數量不超過(guò)500mm鋼管的3倍。怎樣寫(xiě)出滿(mǎn)足上述所有不等式關(guān)系的不等式？
假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據題意，應當有什么樣的不等量關(guān)系呢？
右邊的三個(gè)不等關(guān)系是“或”還是“且”的關(guān)系呢？
這位學(xué)生回答得很好，思維很?chē)烂�，那么該用怎樣的不等式組來(lái)表示此問(wèn)題中的不等關(guān)系呢？
通過(guò)上述三個(gè)問(wèn)題的探究，同學(xué)們對如何用不等式或不等式組把實(shí)際問(wèn)題中隱藏的不等量關(guān)系表示出來(lái)，這一點(diǎn)掌握得很好。請同學(xué)們完成書(shū)本練習第74頁(yè)1，2。
課堂小結：
1.學(xué)習數學(xué)可以幫助我們解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。
2.數學(xué)和我們的生活聯(lián)系非常密切。
3.本節課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組，并且能用它來(lái)解決現實(shí)生活中存在的大量不等量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題。還要注意思維要嚴密，規范，并且要注意數形結合等思想方法的綜合應用。
布置作業(yè)：
第75頁(yè)習題3.1 A組4，5。
29℃≤t≤35℃
x≥0
|AC|+|BC|>|AB|
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、
|AB|-|AC|<|BC|.交被減數與減數的位置也可以。
如果用表示速度，則v≤40km/h.
f≥2.5%或p≥2.3%
學(xué)生自己糾正了錯誤：這種表達是錯誤的，因為兩個(gè)不等量關(guān)系要同時(shí)滿(mǎn)足，所以應該用不等式組來(lái)表示次實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系，即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
過(guò)點(diǎn)A作AC⊥平面于點(diǎn)C，則d=|AC|≤|AB|
可設雜志的定價(jià)為x元，則銷(xiāo)售量就減少萬(wàn)本。銷(xiāo)售量變?yōu)?8-)萬(wàn)本，則總收入為(8-)x萬(wàn)元。即銷(xiāo)售的總收入為不低于20萬(wàn)元的不等式表示為(8-)x≥20.
解法二：可設雜志的單價(jià)提高了0.1n元，（n）
我只考慮單價(jià)的增量。
那么銷(xiāo)售量減少了0.2n萬(wàn)本，單價(jià)為（2.5+0.1n）元，則也可得銷(xiāo)售的總收入為不低于20萬(wàn)元的不等式，表示為（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20.
截得兩種鋼管的總長(cháng)度不能超過(guò)4000mm。
截得600mm鋼管的數量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍。
截得兩種鋼管的數量都不能為負數。
它們是同時(shí)滿(mǎn)足條件，應該是且的關(guān)系。由實(shí)際問(wèn)題的意義，還應有x,y要同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來(lái)表示：
如果學(xué)生沒(méi)有想到的話(huà)，老師可以在黑板上板演示意圖，啟發(fā)學(xué)生考慮三邊的大小關(guān)系。
此時(shí)啟發(fā)學(xué)生“或”字可以嗎？學(xué)生沒(méi)有了聲音，他們在思考著(zhù)。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。
此時(shí)學(xué)生們在思考，時(shí)間長(cháng)的話(huà)，老師要及時(shí)點(diǎn)撥。
讓學(xué)生知道，在解決問(wèn)題時(shí)應該貫穿數形結合的思想，以形助數，下面有學(xué)生的聲音，有學(xué)生在討論，有的學(xué)生還有疑問(wèn)。老師注意關(guān)注學(xué)生的思維狀況，并且及時(shí)的加以指導。
此時(shí)學(xué)生已經(jīng)真正進(jìn)入本節課的學(xué)習狀態(tài)，老師再給出問(wèn)題（三）使學(xué)生一直處于跟隨老師積極思考和解決問(wèn)題的狀態(tài)。問(wèn)題是教學(xué)研究的核心，以問(wèn)題展示的形式來(lái)培養學(xué)生的問(wèn)題意識與探究意識。
【教學(xué)反思】(【設計說(shuō)明】)
本節課內容很多，都是不等式和不等式組的有關(guān)問(wèn)題，還有很多是生活中的實(shí)例，學(xué)生學(xué)習起來(lái)很感興趣，課堂的氣氛也很好，大多數學(xué)生都能很積極地回答問(wèn)題，使課堂的學(xué)習氣氛很濃，確實(shí)也做到了愉快教學(xué)。設計是按照老師引導式教學(xué)，邊講授邊引導，啟發(fā)學(xué)習思考問(wèn)題及能自己解決問(wèn)題，鍛煉學(xué)習能自主的學(xué)習能力。
【交流評析】
一是課堂容量適中，二是實(shí)例很好，接近生活，學(xué)生感興趣。三是學(xué)生回答問(wèn)題積極踴躍，和老師配合很好。四是多媒體應用的恰到好處，教學(xué)設備很完善，老師也能很熟練的應用。
不等關(guān)系與不等式教案2
一、教學(xué)目標
1.通過(guò)具體問(wèn)題情境，讓學(xué)生感受到現實(shí)生活中存在著(zhù)大量的不等關(guān)系；
2.通過(guò)了解一些不等式（組）產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，學(xué)習不等式的相關(guān)內容；
3.理解比較兩個(gè)實(shí)數（代數式）大小的數學(xué)思維過(guò)程.
二、教學(xué)重點(diǎn)：
用不等式（組）表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問(wèn)題.理解不等式（組）對于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值.
三、教學(xué)難點(diǎn)：
使用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系.四、教學(xué)過(guò)程：
�。ㄒ唬⿲胝n題
現實(shí)世界和生活中，既有相等關(guān)系，又存在著(zhù)大量的不等關(guān)系我們知道，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，等等.人們還經(jīng)常用長(cháng)與短，高與矮，輕與重，大與小，不超過(guò)或不少于等來(lái)描述某種客觀(guān)事物在數量上存在的不等關(guān)系.在數學(xué)中，我們用不等式來(lái)表示這樣的不等關(guān)系.
提問(wèn)：
1.“數量”與“數量”之間存在哪幾種關(guān)系？(大于、等于、小于).2.現實(shí)生活中，人們是如何描述“不等關(guān)系”的呢？（用不等式描述）引入知識點(diǎn)：
1.不等式的定義：用不等號、≤、≥、≠表示不等關(guān)系的式子叫不等式.2.不等式ab的含義.不等式ab應讀作“a大于或者等于b”，其含義是指“或者a>b，或者a=b”，等價(jià)于“a不小于b，即若a>b或a=b之中有一個(gè)正確，則ab正確.3.實(shí)數比較大小的依據與方法.
�。�1）如果ab是正數，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是負數，那么ab.反之也成立，就是（ab>0a>b；ab=0a=b；ab
�。ǘ┗A練習
1.用不等式表示下面的不等關(guān)系：
�。�1）a與b的和是非負數；
�。�2）某公路立交橋對通過(guò)車(chē)輛的高度h“限高4m”；解：
�。�1）ab0；
�。�2）h4.2.有一個(gè)兩位數大于50而小于60，其個(gè)位數字比十位數字大2.試用
不等式表示上述關(guān)系（用a和b分別表示這個(gè)兩位數的十位數字和個(gè)位數字）.解：由題意知5010ab60,5010ab60,5011a260
ba2,ba2,43a5.11114811a5843.比較（a+3）（a-5）與（a+2）（a-4）的大小.解：（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）=（a22a15）-a22a6=-7
�。ㄈ┨嵘柧�
1.比較x23與3x的大小，其中xR.
222233333解：x33xx3x3x3x3x
24422220，x233x.方法總結：兩個(gè)實(shí)數比較大小，通常用作差法來(lái)進(jìn)行，其一般步驟是：
第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將差化積；第三步：定號.最后得出結論.
2.小明帶了20元錢(qián)去超市買(mǎi)筆記本和鋼筆.已知筆記本每本2元，鋼筆每枝5元.設他所能買(mǎi)的筆記本和鋼筆的數量分別為x，y，則x，2x5y20,y應滿(mǎn)足關(guān)系式xN,
yN.3.一個(gè)盒中紅、白、黑三種球分別有x個(gè)、y個(gè)、z個(gè)，黑球個(gè)數至少是白球個(gè)數的一半，至多是紅球的，白球與黑球的個(gè)數之和至少
為55，使用不等式將題中的不等關(guān)系表示出來(lái)（x,y,zN*）.yxz,解：32
yz55.
�。ㄋ模┱n后鞏固
p74練習題：1,2.p75習題3.1 A組：1,2. 4
不等關(guān)系與不等式教案3
（一）教學(xué)目標
1．知識與技能:使學(xué)生感受到在現實(shí)世界和日常生活中存在著(zhù)大量的不等關(guān)系，在學(xué)生了解了一些不等式（組）產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，學(xué)習不等式的有關(guān)內容。
2.過(guò)程與方法:以問(wèn)題方式代替例題，學(xué)習如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有關(guān)基本性質(zhì)研究不等關(guān)系；
3．情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)學(xué)生在學(xué)習過(guò)程中的感受、體驗、認識狀況及理解程度，注重問(wèn)題情境、實(shí)際背景的的設置，通過(guò)學(xué)生對問(wèn)題的探究思考，廣泛參與，改變學(xué)生學(xué)習方式，提高學(xué)習質(zhì)量。
（二）教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn)：用不等式（組）表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問(wèn)題，理解不等式（組）對于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值。
難點(diǎn)：用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系。
（三）教學(xué)設想
[創(chuàng )設問(wèn)題情境]
問(wèn)題1：設點(diǎn)A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點(diǎn)，則d≤。
問(wèn)題2：某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本。根據市場(chǎng)調查，若單價(jià)每提高0.1元，銷(xiāo)售量就可能相應減少20xx本。若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設為x元，怎樣用不等式表示銷(xiāo)售的總收入仍不低于20萬(wàn)元？
分析：若雜志的定價(jià)為x元，則銷(xiāo)售的總收入為萬(wàn)元。那么不等關(guān)系“銷(xiāo)售的總收入不低于20萬(wàn)元”可以表示為不等式≥20
問(wèn)題3：某鋼鐵廠(chǎng)要把長(cháng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍。怎樣寫(xiě)出滿(mǎn)足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？
分析：假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根..
根據題意，應有如下的不等關(guān)系：
�。�1）解得兩種鋼管的總長(cháng)度不能超過(guò)4000mm；
�。�2）截得600mm鋼管的數量不能超過(guò)500mm鋼管數量的3倍；
�。�3）解得兩鐘鋼管的數量都不能為負。
由以上不等關(guān)系，可得不等式組：
[練習]第82頁(yè)，第1、2題。
[知識拓展]
設問(wèn)：等式性質(zhì)中：等式兩邊加（減）同一個(gè)數（或式子），結果仍相等。不等式是否也有類(lèi)似的性質(zhì)呢？
從實(shí)數的基本性質(zhì)出發(fā)，可以證明下列常用的不等式的基本性質(zhì)：
�。�1）
�。�2）
�。�3）
�。�4）
證明：
例1講解（第82頁(yè)）
[練習]第82頁(yè)，第3題。
[思考]：利用以上基本性質(zhì)，證明不等式的下列性質(zhì)：
[小結]：1.現實(shí)世界和日常生活中存在著(zhù)大量的不等關(guān)系；
2.利用不等式的有關(guān)基本性質(zhì)研究不等關(guān)系；
[作業(yè)]：習題3.1（第83頁(yè)）：（A組）4、5；（B組）2.
不等關(guān)系與不等式教案4
教學(xué)分析
本節課的研究是對初中不等式學(xué)習的延續和拓展，也是實(shí)數理論的進(jìn)一步發(fā)展.在本節課的學(xué)習過(guò)程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數的基本理論，并能用實(shí)數的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數式的大小.
通過(guò)本節課的學(xué)習，讓學(xué)生從一系列的具體問(wèn)題情境中，感受到在現實(shí)世界和日常生活中存在著(zhù)大量的不等關(guān)系，并充分認識不等關(guān)系的存在與應用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數學(xué)觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行觀(guān)察、歸納、抽象，完成量與量的比較過(guò)程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái).
在本節課的學(xué)習過(guò)程中還安排了一些簡(jiǎn)單的、學(xué)生易于處理的問(wèn)題，其用意在于讓學(xué)生注意對數學(xué)知識和方法的應用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，并由衷地產(chǎn)生用數學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望.根據本節課的教學(xué)內容，應用再現、回憶得出實(shí)數的基本理論，并能用實(shí)數的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數式的大小.
在本節教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書(shū)中實(shí)例，充分利用數軸這一簡(jiǎn)單的數形結合工具，直接用實(shí)數與數軸上點(diǎn)的一一對應關(guān)系，從數與形兩方面建立實(shí)數的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎上提高學(xué)生對不等式的認識.
三維目標
1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數軸回憶實(shí)數的基本理論，理解實(shí)數的大小關(guān)系，理解實(shí)數大小與數軸上對應點(diǎn)位置間的關(guān)系.
2.會(huì )用作差法判斷實(shí)數與代數式的大小，會(huì )用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過(guò)溫故知新，提高學(xué)生對不等式的認識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，體會(huì )數學(xué)的奧秘與數學(xué)的結構美.
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數與代數式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍.
教學(xué)難點(diǎn)：準確比較兩個(gè)代數式的大小.
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過(guò)程
導入新課
思路1.(章頭圖導入)通過(guò)多媒體展示衛星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀(guān)畫(huà)面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數學(xué)研究不等關(guān)系的強烈愿望，自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠近、百米賽跑的時(shí)間、數學(xué)成績(jì)的多少等現實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀(guān)事物在數量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數學(xué)上表示出來(lái)呢?讓學(xué)生自由地展開(kāi)聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行觀(guān)察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現實(shí)世界和日常生活中大量存在著(zhù).這樣學(xué)生會(huì )由衷地產(chǎn)生用數學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習，由此引入新課.
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
1回憶初中學(xué)過(guò)的不等式，讓學(xué)生說(shuō)出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著(zhù)大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎?
3數軸上的任意兩點(diǎn)與對應的兩實(shí)數具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個(gè)實(shí)數具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語(yǔ)怎樣表達這個(gè)關(guān)系?
活動(dòng)：教師引導學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調的是關(guān)系，可用符號“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a>b”“a
教師與學(xué)生一起舉出我們日常生活中不等關(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現實(shí)世界中存在著(zhù)大量的不等關(guān)系.在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習不等式的有關(guān)內容.
實(shí)例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實(shí)例2：對于數軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的'左邊，則xA
實(shí)例3：若一個(gè)數是非負數，則這個(gè)數大于或等于零.
實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短.
實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
實(shí)例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時(shí)，應使汽車(chē)的速度v不超過(guò)40 km/h.
實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現身邊的數學(xué)當然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數學(xué)這門(mén)學(xué)科，但作為我們研究數學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數學(xué)的眼光、數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行觀(guān)察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，這是我們每個(gè)研究數學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過(guò)的什么知識來(lái)表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來(lái)表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個(gè)代數式連結起來(lái)所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來(lái).實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負數，則x≥0.實(shí)例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數與減數的位置也可以.
實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實(shí)例7，教師應點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿(mǎn)足，避免寫(xiě)成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問(wèn)題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結論.
討論結果：
(1)(2)略;(3)數軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對應的實(shí)數比左邊點(diǎn)對應的實(shí)數大.
(4)對于任意兩個(gè)實(shí)數a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a
應用示例
例1(教材本節例1和例2)
活動(dòng)：通過(guò)兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數式的大小比較的基本方法：作差，配方法.
點(diǎn)評：本節兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應讓學(xué)生熟練掌握.
變式訓練
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數的大小，常根據實(shí)數的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結為判斷它們的差的符號來(lái)確定.本例可由學(xué)生獨立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號判斷說(shuō)理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn).
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時(shí)取等號)，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.
∴a4-b4<4a3(a-b).
點(diǎn)評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.
變式訓練
已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小.
活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，∴x-y>0.
當y<0時(shí)，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;
當y>0時(shí)，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點(diǎn)評：當字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類(lèi)討論.
例3建筑設計規定，民用住宅的窗戶(hù)面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶(hù)面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好.試問(wèn)：同時(shí)增加相等的窗戶(hù)面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說(shuō)明理由.
活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語(yǔ)言轉換成數學(xué)語(yǔ)言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.
解：設住宅窗戶(hù)面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據問(wèn)題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時(shí)增加相等的窗戶(hù)面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.
點(diǎn)評：一般地，設a、b為正實(shí)數，且a0，則a+mb+m>ab.
變式訓練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數列，公比q≠1，則( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
知能訓練
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，
�、踴2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
課堂小結
1.教師與學(xué)生共同完成本節課的小結，從實(shí)數的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數大小的比較方法;從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評，到緊跟著(zhù)的變式訓練，讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn)，聯(lián)系舊知，將本節課所學(xué)納入已有的知識體系中.
2.教師畫(huà)龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數的基本性質(zhì)對兩個(gè)實(shí)數大小比較時(shí)易錯的地方.鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生對節末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究.
作業(yè)
習題3—1A組3;習題3—1B組2.
設計感想
1.本節設計關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學(xué)規律的教學(xué)過(guò)程，不宜長(cháng)期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗模式.各種教學(xué)方法中，沒(méi)有一種能很好地適應一切教學(xué)活動(dòng).也就是說(shuō)，世上沒(méi)有萬(wàn)能的教學(xué)方法.針對個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣，可以說(shuō)與其他所有內容都有交匯，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).作為本章開(kāi)始，可以適當開(kāi)闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過(guò)多向外拓展，以免對學(xué)生產(chǎn)生負面影響.
3.本節設計關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓練.訓練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數學(xué)教育的主線(xiàn).采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升.
備課資料
備用習題
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大�。�(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .
4.若x
5.設a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小.
參考答案：
1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)
=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)
=1>0，
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)
=m2-2m+5+2m-5
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)
=a2-4a+3+4a-1
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2
=1+x+x24-(x+1)
=x24，
又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y<0.
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，
當a>b>0時(shí)，ab>1，a-b>0，
則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
當b>a>0時(shí)，0
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述，對于不相等的正數a、b，都有aabb>abba.
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