空間平面與平面的位置關(guān)系教案
空間平面與平面的位置關(guān)系教案
14.4（1）空間平面與平面的位置關(guān)系
一、內容分析
二面角是我們日常生活中經(jīng)常見(jiàn)到的一個(gè)圖形，它是在學(xué)生學(xué)過(guò)空間異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)和平面所成角之后，研究的一種空間的角，二面角進(jìn)一步完善了空間角的概念.掌握好本節的知識，對學(xué)生系統地理解直線(xiàn)和平面的知識、空間想象能力的培養，乃至創(chuàng )新能力的培養都具有十分重要的意義.
二、目標設計
理解二面角及其平面角的概念；能確認圖形中的已知角是否為二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步運用它們解決相關(guān)問(wèn)題.
三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)
二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.
四、教學(xué)流程設計
五、教學(xué)過(guò)程設計
一、 新引入
1.復習和回顧平面角的有關(guān)知識.
平面中的角
定義從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線(xiàn)所組成的圖形，叫做角
圖形
結構射線(xiàn)—點(diǎn)—射線(xiàn)
表示法∠AOB,∠O等
2.復習和回顧異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)和平面所成的角的定義，及其共同特征.（空間角轉化為平面角）
3.觀(guān)察：陡峭與否，跟坡面與水平面所成的角大小有關(guān)，而坡面與水平面所成的角就是兩個(gè)平面所成的角.在實(shí)際生活當中，能夠轉化為兩個(gè)平面所成角例子非常多，比如在這間教室里，誰(shuí)能舉出能夠體現兩個(gè)平面所成角的實(shí)例？（如圖1，本的開(kāi)合、門(mén)或窗的開(kāi)關(guān).）從而，引出“二面角”的定義及相關(guān)內容.
二、學(xué)習新
�。ㄒ唬┒娼堑亩x
平面中的角二面角
定義從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線(xiàn)所組成的圖形，叫做角本P17
圖形
結構射線(xiàn)—點(diǎn)—射線(xiàn)半平面—直線(xiàn)—半平面
表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β
�。ǘ┒娼堑膱D示
1.畫(huà)出直立式、平臥式二面角各一個(gè)，并分別給予表示.
2.在正方體中認識二面角.
�。ㄈ┒娼堑钠矫娼�
平面幾何中的“角”可以看作是一條射線(xiàn)繞其端點(diǎn)旋轉而成，它有一個(gè)旋轉量，它的大小可以度量，類(lèi)似地，"二面角"也可以看作是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉而成，它也有一個(gè)旋轉量，那么，二面角的大小應該怎樣度量？
1.二面角的平面角的定義（本P17）.
2.∠AOB的大小與點(diǎn)O在棱上的位置無(wú)關(guān).
[說(shuō)明]①平面與平面的位置關(guān)系，只有相交或平行兩種情況，為了對相交平面的相互位置作進(jìn)一步的探討，有必要研究二面角的度量問(wèn)題.
�、谂c兩條異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)和平面所成的角做類(lèi)比，用“平面角”去度量.
�、鄱娼堑钠矫娼堑娜齻�(gè)主要特征：角的頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內；角的兩邊分別與棱垂直.
3.二面角的平面角的范圍：
�。ㄋ模├}分析
例1 一張邊長(cháng)為a的正三角形紙片ABC，以它的高AD為折痕，將其折成一個(gè) 的二面角，求此時(shí)B、C兩點(diǎn)間的距離.
[說(shuō)明] ①檢查學(xué)生對二面角的平面角的定義的掌握情況.
�、诜矍昂髴⒁饽男┝康奈恢煤蛿盗堪l(fā)生了變化, 哪些沒(méi)變?
例2 如圖，已知邊長(cháng)為a的等邊三角形 所在平面外有一點(diǎn)P，使PA=PB=PC=a，求二面角 的大小.
[說(shuō)明] ①求二面角的步驟：作—證—算—答.
�、谝龑W(xué)生掌握解題可操作性的通法（定義法和線(xiàn)面垂直法）.
例3 已知正方體 ，求二面角 的大小.（本P18例1）
[說(shuō)明] 使學(xué)生進(jìn)一步熟悉作二面角的平面角的方法.
�。ㄎ澹﹩�(wèn)題拓展
例4 如圖，坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數）是 ，坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線(xiàn)AB的夾角是 ，沿這條路上，行走100米后升高多少米？
[說(shuō)明]使學(xué)生明白數學(xué)既于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際.
三、鞏固練習
1.在棱長(cháng)為1的正方體 中，求二面角 的大小.
2. 若二面角 的大小為 ，P在平面 上，點(diǎn)P到 的距離為h，求點(diǎn)P到棱l的距離.
四、堂小結
1.二面角的定義
2.二面角的平面角的定義及其范圍
3.二面角的平面角的常用作圖方法
4.求二面角的大�。ㄗ鳌C—算—答）
五、作業(yè)布置
1.本P18練習14.4（1）
2.在 二面角的一個(gè)面內有一個(gè)點(diǎn)，它到另一個(gè)面的距離是10，求它到棱的距離．
3.把邊長(cháng)為a的正方形ABCD以BD為軸折疊，使二面角A-BD-C成 的二面角，求A、C兩點(diǎn)的距離．
六、教學(xué)設計說(shuō)明
本節的設計不是簡(jiǎn)單地將概念直接傳受給學(xué)生，而是考慮到知識的形成過(guò)程，設法從學(xué)生的數學(xué)現實(shí)出發(fā)，調動(dòng)學(xué)生積極參與探索、發(fā)現、問(wèn)題解決全過(guò)程.“二面角”及“二面角的平面角”這兩大概念的引出均運用了類(lèi)比的手段和方法.教學(xué)過(guò)程中通過(guò)教師的層層鋪墊，學(xué)生的主動(dòng)探究，使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成、發(fā)展和應用過(guò)程，有意識地加強了知識形成過(guò)程的教學(xué).
高考數學(xué)知識要點(diǎn)二項式定理復習教案
二項式定理（1）
一．復習目標：
1．掌握二項式定理和二項展開(kāi)式的性質(zhì)，并能用它們討論整除、近似計算等相關(guān)問(wèn)題．
2．能利用二項展開(kāi)式的通項公式求二項式的指數、求滿(mǎn)足條的項或系數．
二．知識要點(diǎn)：
1．二項式定理： ．
2．二項展開(kāi)式的性質(zhì)：
�。�1）在二項展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數 ．
�。�2）若 是偶數，則 的二項式系數最大；若 是奇數，則 的二項式系數最大．
�。�3）所有二項式系數的和等于 ．
�。�4）奇數項的二項式系數的和與偶數項的二項式系數的和 ．
三．前預習：
1．設二項式 的展開(kāi)式的各項系數的和為 ，所有二項式系數的和為 ，若 ，則 （ ）
4 5 6 8
2．當 且 時(shí)， （其中 ,且 ），則 的值為 （ ）
0 1 2 與 有關(guān)
3．在 的展開(kāi)式中常數項是 ；中間項是 ．
4．在 的展開(kāi)式中，有理項的項數為第3，6，9項．
5．求 展開(kāi)式里 的系數為-168．
6．在 的展開(kāi)式中， 的系數是 的系數與 的系數的等差中項，若實(shí)數 ，那么 ．
四．例題分析：
例1．求 展開(kāi)式中系數絕對值最大的項．
解： 展開(kāi)式的通項為 ，
設第 項系數絕對值最大，即 ，
所以 ，∴ 且 ，∴ 或 ，
故系數絕對值最大項為 或 ．
例2．已知 展開(kāi)式中最后三項的系數的和是方程 的正數解，它的中間項是 ，求 的值．
解：由 得 ，∴ （舍去）或 ，
由題意知， ，∴
已知條知，其展開(kāi)式的中間項為第4項，即 ，
∴ ，∴ 或 ，∴ 或 ．
經(jīng)檢驗知，它們都符合題意。
例3．證明 能被 整除( )．
證明： ∵ 是整數，∴ 能被64整除．
五．后作業(yè)： 班級 學(xué)號 姓名
1．若 ，則 的值為 （ ）
1 -1 0 2
2．由 展開(kāi)所得的 的多項式中，系數為有理數的共有 （ ）
50項 17項 16項 15項
3． 的展開(kāi)式中， 的系數為179．(用數字作答)
4． 的展開(kāi)式中， 的系數為 ，常數 的值為4．
5．求 除以 的余數．
解：∵ 由上面展開(kāi)式可知199911除以8的余數是7．
6．（1）求 展開(kāi)式中系數最大項．（2）求 展開(kāi)式中系數最大項．
解：(1)設第 項系數最大，則有
，即 ，即 ，
∴ 且 ，∴ ．
所以系數最大項為
(2)展開(kāi)式共有8項，系數最大項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得，故系數最大項必在中間或偏右，故只需比較 和 兩項系數大小即可．又因為
， ，所以系數最大的項是第五項為 ．
7．設 ，若展開(kāi)式中關(guān)于 的一次項系數和為11，試問(wèn) 為何值時(shí)，含 項的系數取得最小值．
解：由題意知 ，即 ，
又展開(kāi)式中含 項的系數 ，
∴當 或 時(shí)，含 項的系數最小，最小值為 ．
此時(shí) ；或 ．
8．設 展開(kāi)式中第2項的系數與第4項的系數的比為4：45，試求 項的系數．
解：第 項 ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ 或 （舍負）．
令 ，即 ，∴ ．
∴ 項的系數 ．
9．求 的近似值，使誤差小于 ．
解：
20xx屆高考數學(xué)知識圓錐曲線(xiàn)與方程導航復習教案
第九章 圓錐曲線(xiàn)與方程
高考導航
考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解圓錐曲線(xiàn)的實(shí)際背景，了解圓錐曲線(xiàn)在刻畫(huà)現實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；
2.掌握橢圓、拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形、標準方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)；
3.了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；
4.了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應用；
5.理解數形結合的思想；
6.了解方程的曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程的對應關(guān)系. 本章重點(diǎn)：1.橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形、標準方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)；2.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題；3.求曲線(xiàn)的方程或曲線(xiàn)的軌跡；4.數形結合的思想，方程的思想，函數的思想，坐標法.
本章難點(diǎn)：1.對圓錐曲線(xiàn)的定義及性質(zhì)的理解和應用；2.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題；3.曲線(xiàn)與方程的對應關(guān)系. 圓錐曲線(xiàn)與函數、方程、不等式、三角形、平面向量等知識結合是高考�？碱}型.極有可能以一小一大的形式出現，小題主要考查圓錐曲線(xiàn)的標準方程及幾何性質(zhì)等基礎知識、基本技能和基本方法運用；解答題常作為數學(xué)高考的把關(guān)題或壓軸題，綜合考查學(xué)生在數形結合、等價(jià)轉換、分類(lèi)討論、邏輯推理等方面的能力.
知識網(wǎng)絡(luò )
9.1 橢 圓
典例精析
題型一 求橢圓的標準方程
【例1】已知點(diǎn)P在以坐標軸為對稱(chēng)軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為453和
253，過(guò)P作長(cháng)軸的垂線(xiàn)恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程.
【解析】由橢圓的定義知，2a＝453＋253＝25，故a＝5，
由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c2，所以c2＝53，b2＝a2－c2＝103，
故所求方程為x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.
【點(diǎn)撥】(1)在求橢圓的標準方程時(shí)，常用待定系數法，但是當焦點(diǎn)所在坐標軸不確定時(shí)，需要考慮兩種情形，有時(shí)也可設橢圓的統一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；
(2)在求橢圓中的a、b、c時(shí)，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識.
【變式訓練1】已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上.小明從曲線(xiàn)C1，C2上各取若干個(gè)點(diǎn)(每條曲線(xiàn)上至少取兩個(gè)點(diǎn))，并記錄其坐標(x，y).由于記錄失誤，使得其中恰有一個(gè)點(diǎn)既不在橢圓C1上，也不在拋物線(xiàn)C2上.小明的記錄如下：
據此，可推斷橢圓C1的方程為 .
【解析】方法一：先將題目中的點(diǎn)描出來(lái)，如圖，A(－2,2)，B(－2，0)，C(0，6)，D(2，－22)，E(22，2)，F(3，－23).
通過(guò)觀(guān)察可知道點(diǎn)F，O，D可能是拋物線(xiàn)上的點(diǎn).而A，C，E是橢圓上的點(diǎn)，這時(shí)正好點(diǎn)B既不在橢圓上，也不在拋物線(xiàn)上.
顯然半焦距b＝6，則不妨設橢圓的方程是x2m＋y26＝1，則將點(diǎn)
A(－2,2)代入可得m＝12，故該橢圓的方程是x212＋y26＝1.
方法二：欲求橢圓的解析式，我們應先求出拋物線(xiàn)的解析式，因為拋物線(xiàn)的解析式形式比橢圓簡(jiǎn)單一些.
不妨設有兩點(diǎn)y21＝2px1，①y22＝2px2，②y21y22＝x1x2，
則可知B(－2，0)，C(0，6)不是拋物線(xiàn)上的點(diǎn).
而D(2，－22)，F(3，－23)正好符合.
又因為橢圓的交點(diǎn)在x軸上，故B(－2，0)，C(0，6)不可能同時(shí)出現.故選用A(－2,2)，E(22，2)這兩個(gè)點(diǎn)代入，可得橢圓的方程是x212＋y26＝1.
題型二 橢圓的幾何性質(zhì)的運用
【例2】已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓離心率的范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(cháng)有關(guān).
【解析】(1)設橢圓的方程為x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，PF1＝m，PF2＝n，在△F1PF2中，
由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos 60°，
因為m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤(m＋n2)2＝a2(當且僅當m＝n時(shí)取等號)，
所以4a2－4c2≤3a2，所以c2a2≥14，
即e≥12，所以e的取值范圍是[12，1).
(2)由(1)知mn＝43b2，所以 ＝12mnsin 60°＝33b2，
即△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(cháng)有關(guān).
【點(diǎn)撥】橢圓中△F1PF2往往稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形，求解有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時(shí)，要特別注意橢圓定義(或性質(zhì))與不等式的聯(lián)合使用，如PF1?PF2≤(PF1＋PF22)2，PF1≥a－c.
【變式訓練2】已知P是橢圓x225＋y29＝1上的一點(diǎn)，Q，R分別是圓(x＋4)2＋y2＝14和圓
(x－4)2＋y2＝14上的點(diǎn)，則PQ＋PR的最小值是 .
【解析】設F1，F2為橢圓左、右焦點(diǎn)，則F1，F2分別為兩已知圓的圓心，
則PQ＋PR≥(PF1－12)＋(PF2－12)＝PF1＋PF2－1＝9.
所以PQ＋PR的最小值為9.
題型三 有關(guān)橢圓的綜合問(wèn)題
【例3】(2010全國新課標)設F1，F2分別是橢圓E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1斜率為1的直線(xiàn)l與E相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且AF2，AB，BF2成等差數列.
(1)求E的離心率；
(2)設點(diǎn)P(0，－1)滿(mǎn)足PA＝PB，求E的方程.
【解析】(1)由橢圓定義知AF2＋BF2＋AB＝4a，
又2AB＝AF2＋BF2，得AB＝43a.
l的方程為y＝x＋c，其中c＝a2－b2.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標滿(mǎn)足方程組
化簡(jiǎn)得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
則x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2)a2＋b2.
因為直線(xiàn)AB斜率為1，所以AB＝2x2－x1＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]，
即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，
所以E的離心率e＝ca＝a2－b2a＝22.
(2)設AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.
由PA＝PB?kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1?c＝3.
從而a＝32，b＝3，故E的方程為x218＋y29＝1.
【變式訓練3】已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的離心率為e，兩焦點(diǎn)為F1，F2，拋物線(xiàn)以F1為頂點(diǎn)，F2為焦點(diǎn)，P為兩曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，若PF1PF2＝e，則e的值是( )
A.32B.33C.22D.63
【解析】設F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，則橢圓左準線(xiàn)x＝－a2c，拋物線(xiàn)準線(xiàn)為x＝
�。�3c，x0－(－a2c)＝x0－(－3c)?c2a2＝13?e＝33.故選B.
總結提高
1.橢圓的標準方程有兩種形式，其結構簡(jiǎn)單，形式對稱(chēng)且系數的幾何意義明確，在解題時(shí)要防止遺漏.確定橢圓需要三個(gè)條件，要確定焦點(diǎn)在哪條坐標軸上(即定位)，還要確定a、 b的值(即定量)，若定位條件不足應分類(lèi)討論，或設方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.
2.充分利用定義解題，一方面，會(huì )根據定義判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，另一方面，會(huì )利用橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為常數進(jìn)行計算推理.
3.焦點(diǎn)三角形包含著(zhù)很多關(guān)系，解題時(shí)要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的范圍.
9.2 雙曲線(xiàn)
典例精析
題型一 雙曲線(xiàn)的定義與標準方程
【例1】已知動(dòng)圓E與圓A：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓B：(x－4)2＋y2＝2內切，求動(dòng)圓圓心E的軌跡方程.
【解析】設動(dòng)圓E的半徑為r，則由已知AE＝r＋2，BE＝r－2，
所以AE－BE＝22，又A(－4,0)，B(4,0)，所以AB＝8,22＜AB.
根據雙曲線(xiàn)定義知，點(diǎn)E的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支.
因為a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，
故點(diǎn)E的軌跡方程是x22－y214＝1(x≥2).
【點(diǎn)撥】利用兩圓內、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件，結合雙曲線(xiàn)定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線(xiàn)的兩支.
【變式訓練1】P為雙曲線(xiàn)x29－y216＝1的右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和
(x－5)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則PM－PN的最大值為( )
A.6B.7C.8D.9
【解析】選D.
題型二 雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的運用
【例2】雙曲線(xiàn)C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為A，x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0)，若C上存在一點(diǎn)P，使 ＝0，求此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍.
【解析】設P(x，y)，則由 ＝0，得AP⊥PQ，則P在以AQ為直徑的圓上，
即 (x－3a2)2＋y2＝(a2)2，①
又P在雙曲線(xiàn)上，得x2a2－y2b2＝1，②
由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，
當x＝a時(shí)，P與A重合，不符合題意，舍去；
當x＝2a3－ab2a2＋b2時(shí)，滿(mǎn)足題意的點(diǎn)P存在，需x＝2a3－ab2a2＋b2＞a，
化簡(jiǎn)得a2＞2b2，即3a2＞2c2，ca＜62，
所以離心率的取值范圍是(1，62).
【點(diǎn)撥】根據雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.
【變式訓練2】設離心率為e的雙曲線(xiàn)C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l過(guò)焦點(diǎn)F，且斜率為k，則直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的左、右兩支都相交的充要條件是( )
A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1
C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1
【解析】由雙曲線(xiàn)的圖象和漸近線(xiàn)的幾何意義，可知直線(xiàn)的斜率k只需滿(mǎn)足－ba＜k＜ba，即k2＜b2a2＝c2－a2a2＝e2－1，故選C.
題型三 有關(guān)雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題
【例3】(2010廣東)已知雙曲線(xiàn)x22－y2＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線(xiàn)上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求直線(xiàn)A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)H(0，h)(h＞1)的兩條直線(xiàn)l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1⊥l2，求h的值.
【解析】(1)由題意知x1＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，則有
直線(xiàn)A1P的方程為y＝y1x1＋2(x＋2)，①
直線(xiàn)A2Q的方程為y＝－y1x1－2(x－2).②
方法一：聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標為x＝2x1，y＝2y1x1，即x1＝2x，y1＝2yx，③
則x≠0，x＜2.
而點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線(xiàn)x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.
將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
方法二：設點(diǎn)M(x，y)是A1P與A2Q的交點(diǎn)，①×②得y2＝－y21x21－2(x2－2).③
又點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線(xiàn)上，因此x212－y21＝1，即y21＝x212－1.
代入③式整理得x22＋y2＝1.
因為點(diǎn)P，Q是雙曲線(xiàn)上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn)A1，A2均不重合.故點(diǎn)A1和A2均不在軌跡E上.過(guò)點(diǎn)(0,1)及A2(2，0)的直線(xiàn)l的方程為x＋2y－2＝0.
解方程組 得x＝2，y＝0.所以直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)只有唯一交點(diǎn)A2.
故軌跡E不過(guò)點(diǎn)(0,1).同理軌跡E也不過(guò)點(diǎn)(0，－1).
綜上分析，軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
(2)設過(guò)點(diǎn)H(0，h)的直線(xiàn)為y＝kx＋h(h＞1)，
聯(lián)立x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝h2－12，k2＝－h(huán)2－12.
由于l1⊥l2，則k1k2＝－h(huán)2－12＝－1，故h＝3.
過(guò)點(diǎn)A1，A2分別引直線(xiàn)l1，l2通過(guò)y軸上的點(diǎn)H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×(－h(huán)2)＝－1，得h＝2.
此時(shí)，l1，l2的方程分別為y＝x＋2與y＝－x＋2，
它們與軌跡E分別僅有一個(gè)交點(diǎn)(－23，223)與(23，223).
所以，符合條件的h的值為3或2.
【變式訓練3】雙曲線(xiàn)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，離心率為e，過(guò)F2的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2等于( )
A.1＋22B.3＋22
C.4－22D.5－22
【解析】本題考查雙曲線(xiàn)定義的應用及基本量的求解.
據題意設AF1＝x，則AB＝x，BF1＝2x.
由雙曲線(xiàn)定義有AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a
?(AF1＋BF1)－(AF2＋BF2)＝(2＋1)x－x＝4a，即x＝22a＝AF1.
故在Rt△AF1F2中可求得AF2＝F1F22－AF12＝4c2－8a2.
又由定義可得AF2＝AF1－2a＝22a－2a，即4c2－8a2＝22－2a，
兩邊平方整理得c2＝a2(5－22)?c2a2＝e2＝5－22，故選D.
總結提高
1.要與橢圓類(lèi)比來(lái)理解、掌握雙曲線(xiàn)的定義、標準方程和幾何性質(zhì)，但應特別注意不同點(diǎn)，如a，b，c的關(guān)系、漸近線(xiàn)等.
2.要深刻理解雙曲線(xiàn)的定義，注意其中的隱含條件.當PF1－PF2＝2a＜F1F2時(shí)，P的軌跡是雙曲線(xiàn)；當PF1－PF2＝2a＝F1F2時(shí)，P的軌跡是以F1或F2為端點(diǎn)的射線(xiàn)；當
PF1－PF2＝2a＞F1F2時(shí)，P無(wú)軌跡.
3.雙曲線(xiàn)是具有漸近線(xiàn)的曲線(xiàn)，畫(huà)雙曲線(xiàn)草圖時(shí)，一般先畫(huà)出漸近線(xiàn)，要掌握以下兩個(gè)問(wèn)題：
(1)已知雙曲線(xiàn)方程，求它的漸近線(xiàn)；
(2)求已知漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的方程.如已知雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)y＝±bax，可將雙曲線(xiàn)方程設為x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再利用其他條件確定λ的值，求法的實(shí)質(zhì)是待定系數法.
9.3 拋物線(xiàn)
典例精析
題型一 拋物線(xiàn)定義的運用
【例1】根據下列條件，求拋物線(xiàn)的標準方程.
(1)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(2，－4)；
(2)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F在x軸上，直線(xiàn)y＝－3與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A，AF＝5.
【解析】(1)設方程為y2＝mx或x2＝ny.
將點(diǎn)P坐標代入得y2＝8x或x2＝－y.
(2)設A(m，－3)，所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)為y2＝2px(p≠0)，
由定義得5＝AF＝m＋p2，又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或±9，
所求方程為y2＝±2x或y2＝±18x.
【變式訓練1】已知P是拋物線(xiàn)y2＝2x上的一點(diǎn)，另一點(diǎn)A(a,0) (a＞0)滿(mǎn)足PA＝d，試求d的最小值.
【解析】設P(x0，y0) (x0≥0)，則y20＝2x0，
所以d＝PA＝(x0－a)2＋y20＝(x0－a)2＋2x0＝[x0＋(1－a)]2＋2a－1.
因為a＞0，x0≥0，
所以當0＜a＜1時(shí)，此時(shí)有x0＝0，dmin＝(1－a)2＋2a－1＝a；
當a≥1時(shí)，此時(shí)有x0＝a－1，dmin＝2a－1.
題型二 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置討論
【例2】(2010湖北)已知一條曲線(xiàn)C在y軸右側，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.
(1)求曲線(xiàn)C的方程；
(2)是否存在正數m，對于過(guò)點(diǎn)M(m,0)且與曲線(xiàn)C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線(xiàn)，都有 ＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說(shuō)明理由.
【解析】(1)設P(x，y)是曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足：
(x－1)2＋y2－x＝1(x＞0).
化簡(jiǎn)得y2＝4x(x＞0).
(2)設過(guò)點(diǎn)M(m,0)(m＞0)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2).
設l的方程為x＝ty＋m，由 得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是 ①
又 ＝(x1－1，y1)， ＝(x2－1，y2).
�。�0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝y24，于是不等式②等價(jià)于 y214?y224＋y1y2－(y214＋y224)＋1＜0
?(y1y2)216＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③
由①式，不等式③等價(jià)于m2－6m＋1＜4t2.④
對任意實(shí)數t,4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價(jià)于m2－6m＋1＜0，即3－22＜m＜3＋22.
由此可知，存在正數m，對于過(guò)點(diǎn)M(m,0)且與曲線(xiàn)C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線(xiàn)，都有 ? ＜0，且m的取值范圍是(3－22，3＋22).
【變式訓練2】已知拋物線(xiàn)y2＝4x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標為(0,2)，則1y1＋1y2＝ .
【解析】 ?y2－4my＋8m＝0，
所以1y1＋1y2＝y1＋y2y1y2＝12.
題型三 有關(guān)拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題
【例3】已知拋物線(xiàn)C：y＝2x2，直線(xiàn)y＝kx＋2交C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)交C于點(diǎn)N.
(1)求證：拋物線(xiàn)C在點(diǎn)N處的切線(xiàn)與AB平行；
(2)是否存在實(shí)數k使 ? ＝0？若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】(1)證明：如圖，設A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由韋達定理得x1＋x2＝k2，x1x2＝－1，
所以xN＝xM＝x1＋x22＝k4，所以點(diǎn)N的坐標為(k4，k28).
設拋物線(xiàn)在點(diǎn)N處的切線(xiàn)l的方程為y－k28＝m(x－k4)，
將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋mk4－k28＝0，
因為直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切，
所以Δ＝m2－8(mk4－k28)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
所以m＝k，即l∥AB.
(2)假設存在實(shí)數k，使 ? ＝0，則NA⊥NB，
又因為M是AB的中點(diǎn)，所以MN＝ AB.
由(1)知yM＝12(y1＋y2)＝12(kx1＋2＋kx2＋2)＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12(k22＋4)＝k24＋2.
因為MN⊥x軸，所以MN＝yM－yN＝k24＋2－k28＝k2＋168.
又AB＝1＋k2?x1－x2＝1＋k2?(x1＋x2)2－4x1x2
�。�1＋k2?(k2)2－4×(－1)＝12k2＋1?k2＋16.
所以k2＋168＝14k2＋1?k2＋16，解得k＝±2.
即存在k＝±2，使 ? ＝0.
【點(diǎn)撥】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，一般要用到根與系數的關(guān)系；有關(guān)拋物線(xiàn)的弦長(cháng)問(wèn)題，要注意弦是否過(guò)焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須使用一般弦長(cháng)公式.
【變式訓練3】已知P是拋物線(xiàn)y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓(x－3)2＋y2＝1的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M、N，則MN的最小值是 .
【解析】455.
總結提高
1.在拋物線(xiàn)定義中，焦點(diǎn)F不在準線(xiàn)l上，這是一個(gè)重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線(xiàn)退化為一條直線(xiàn).
2.掌握拋物線(xiàn)本身固有的一些性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)在對稱(chēng)軸上；(2)準線(xiàn)垂直于對稱(chēng)軸；(3)焦點(diǎn)到準線(xiàn)的距離為p；(4)過(guò)焦點(diǎn)垂直于對稱(chēng)軸的弦(通徑)長(cháng)為2p.
3.拋物線(xiàn)的標準方程有四種形式，要掌握拋物線(xiàn)的方程與圖形的對應關(guān)系.求拋物線(xiàn)方程時(shí)，若由已知條件可知曲線(xiàn)的類(lèi)型，可采用待定系數法.
4.拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線(xiàn)加以對照，很容易把握.但由于拋物線(xiàn)的離心率為1，所以?huà)佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)有很多重要性質(zhì)，而且應用廣泛，例如：已知過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：AB＝x1＋x2＋p或AB＝2psin2α(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等.
9.4 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系
典例精析
題型一 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交點(diǎn)問(wèn)題
【例1】若曲線(xiàn)y2＝ax與直線(xiàn)y＝(a＋1)x－1恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數a的值.
【解析】聯(lián)立方程組
(1)當a＝0時(shí)，方程組恰有一組解為
(2)當a≠0時(shí)，消去x得a＋1ay2－y－1＝0，
�、偃鬭＋1a＝0，即a＝－1，方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋瓂－1＝0，
方程組恰有一組解
�、谌鬭＋1a≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a＋1)a＝0，解得a＝－45，這時(shí)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，只有一個(gè)公共點(diǎn).
綜上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.
【點(diǎn)撥】本題設計了一個(gè)思維“陷阱”，即審題中誤認為a≠0，解答過(guò)程中的失誤就是不討論二次項系數 ＝0，即a＝－1的可能性，從而漏掉兩解.本題用代數方法解完后，應從幾何上驗證一下：①當a＝0時(shí)，曲線(xiàn)y2＝ax，即直線(xiàn)y＝0，此時(shí)與已知直線(xiàn)y＝x－1 恰有交點(diǎn)(1,0)；②當a＝－1時(shí)，直線(xiàn)y＝－1與拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸平行，恰有一個(gè)交點(diǎn)(代數特征是消元后得到的一元二次方程中二次項系數為零)；③當a＝－45時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切.
【變式訓練1】若直線(xiàn)y＝kx－1與雙曲線(xiàn)x2－y2＝4有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數k的取值范圍為( )
A.{1，－1，52，－52}B.(－∞，－52]∪[52，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[52，＋∞)
【解析】由 ?(1－k2)x2－2kx－5＝0，
k＝±52，結合直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(0，－1)，且漸近線(xiàn)斜率為±1，可知答案為A.
題型二 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的相交弦問(wèn)題
【例2】(2010遼寧)設橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l的傾斜角為60°， ＝2 .
(1)求橢圓C的離心率；
(2)如果AB＝154，求橢圓C的方程.
【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1＜0，y2＞0.
(1)直線(xiàn)l的方程為y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.
聯(lián)立
得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.
解得y1＝－3b2(c＋2a)3a2＋b2，y2＝－3b2(c－2a)3a2＋b2.
因為 ＝2 ，所以－y1＝2y2，即3b2(c＋2a)3a2＋b2＝2?－3b2(c－2a)3a2＋b2.
解得離心率e＝ca＝23.
(2)因為AB＝1＋13y2－y1，所以23?43ab23a2＋b2＝154.
由ca＝23得b＝53a，所以54a＝154，即a＝3，b＝5.
所以橢圓的方程為x29＋y25＝1.
【點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交及相交弦的弦長(cháng)問(wèn)題，以及用待定系數法求橢圓方程.
【變式訓練2】橢圓ax2＋by2＝1與直線(xiàn)y＝1－x交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線(xiàn)段AB中點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為32，則ab的值為 .
【解析】設直線(xiàn)與橢圓交于A(yíng)、B兩點(diǎn)的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點(diǎn)坐標為(x0，y0)，代入橢圓方程兩式相減得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0?
2ax0＋2by0y1－y2x1－x2＝0?ax0－by0＝0.
故ab＝y0x0＝32.
題型三 對稱(chēng)問(wèn)題
【例3】在拋物線(xiàn)y2＝4x上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l：y＝kx＋3對稱(chēng)，求k的取值范圍.
【解析】設A(x1，y1)、B(x2、y2)是拋物線(xiàn)上關(guān)于直線(xiàn)l對稱(chēng)的兩點(diǎn)，由題意知k≠0.
設直線(xiàn)AB的方程為y＝－1kx＋b，
聯(lián)立 消去x，得14ky2＋y－b＝0，
由題意有Δ＝12＋4?14k?b＞0，即bk＋1＞0.(*)
且y1＋y2＝－4k.又y1＋y22＝－1k?x1＋x22＋b.所以x1＋x22＝k(2k＋b).
故AB的中點(diǎn)為E(k(2k＋b)，－2k).
因為l過(guò)E，所以－2k＝k2(2k＋b)＋3，即b＝－2k－3k2－2k.
代入(*)式，得－2k－3k3－2＋1＞0?k3＋2k＋3k3＜0
k(k＋1)(k2－k＋3)＜0?－1＜k＜0，故k的取值范圍為(－1,0).
【點(diǎn)撥】(1)本題的關(guān)鍵是對稱(chēng)條件的轉化.A(x1，y1)、B(x2，y2)關(guān)于直線(xiàn)l對稱(chēng)，則滿(mǎn)足直線(xiàn)l與AB垂直，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標滿(mǎn)足l的方程；
(2)對于圓錐曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)關(guān)于某一直線(xiàn)對稱(chēng)，求有關(guān)參數的范圍問(wèn)題，利用對稱(chēng)條件求出過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程，利用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數表示弦中點(diǎn)的坐標，利用中點(diǎn)在曲線(xiàn)內部的條件建立不等式求參數的取值范圍.
【變式訓練3】已知拋物線(xiàn)y＝－x2＋3上存在關(guān)于x＋y＝0對稱(chēng)的兩點(diǎn)A，B，則AB等于( )
A.3B.4C.32D.42
【解析】設AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0，
所以xA＋xB＝－1，故AB中點(diǎn)為(－12，－12＋b).
它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以AB＝32，故選C.
總結提高
1.本節內容的重點(diǎn)是研究直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的判別式方法及弦中點(diǎn)問(wèn)題的處理方法.
2.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的研究可以轉化為相應方程組的解的討論，即聯(lián)立方程組
通過(guò)消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0進(jìn)行討論.這時(shí)要注意考慮a＝0和a≠0兩種情況，對雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)而言，一個(gè)公共點(diǎn)的情況除a≠0，Δ＝0外，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行或直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸平行時(shí)，都只有一個(gè)交點(diǎn)(此時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)屬相交情況).由此可見(jiàn)，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，并不是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相切的充要條件.
3.弦中點(diǎn)問(wèn)題的處理既可以用判別式法，也可以用點(diǎn)差法；使用點(diǎn)差法時(shí)，要特別注意驗證“相交”的情形.
9.5 圓錐曲線(xiàn)綜合問(wèn)題
典例精析
題型一 求軌跡方程
【例1】已知拋物線(xiàn)的方程為x2＝2y，F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)l1和l2，記l1和l2交于點(diǎn)M.
(1)求證：l1⊥l2；
(2)求點(diǎn)M的軌跡方程.
【解析】(1)依題意，直線(xiàn)l的斜率存在，設直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋12.
聯(lián)立 消去y整理得x2－2kx－1＝0.設A的坐標為(x1，y1)，B的坐標為(x2，y2)，則有x1x2＝－1，將拋物線(xiàn)方程改寫(xiě)為y＝12x2，求導得y′＝x.
所以過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)l1的斜率是k1＝x1，過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)l2的斜率是k2＝x2.
因為k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
(2)直線(xiàn)l1的方程為y－y1＝k1(x－x1)，即y－x212＝x1(x－x1).
同理直線(xiàn)l2的方程為y－x222＝x2(x－x2).
聯(lián)立這兩個(gè)方程消去y得x212－x222＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，
整理得(x1－x2)(x－x1＋x22)＝0，
注意到x1≠x2，所以x＝x1＋x22.
此時(shí)y＝x212＋x1(x－x1)＝x212＋x1(x1＋x22－x1)＝x1x22＝－12.
由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝x1＋x22＝k∈R.
所以點(diǎn)M的軌跡方程是y＝－12.
【點(diǎn)撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個(gè)不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說(shuō)明方程軌跡的形狀，這就需要我們對各種基本曲線(xiàn)方程和它的形態(tài)的對應關(guān)系了如指掌.
【變式訓練1】已知△ABC的頂點(diǎn)為A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內切圓圓心在直線(xiàn)x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是( )
A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1
C.x29－y216＝1(x＞3)D.x216－y29＝1(x＞4)
【解析】如圖，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，
所以CA－CB＝8－2＝6，
根據雙曲線(xiàn)定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(cháng)為6的雙曲線(xiàn)的右支，方程為x29－y216＝1(x＞3)，故選C.
題型二 圓錐曲線(xiàn)的有關(guān)最值
【例2】已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓x2＋3y2＝4上，對角線(xiàn)BD所在直線(xiàn)的斜率為1.當∠ABC＝60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值.
【解析】因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.
于是可設直線(xiàn)AC的方程為y＝－x＋n.
由 得4x2－6nx＋3n2－4＝0.
因為A，C在橢圓上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－433＜n＜433.
設A，C兩點(diǎn)坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝3n2，x1x2＝3n2－44，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n. 所以y1＋y2＝n2.
因為四邊形ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，所以AB＝BC＝CA.
所以菱形ABCD的面積S＝32AC2.
又AC2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S＝34(－3n2＋16) (－433＜n＜433).
所以當n＝0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值43.
【點(diǎn)撥】建立“目標函數”，借助代數方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒(méi)有利用判別式求出n的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少.
【變式訓練2】已知拋物線(xiàn)y＝x2－1上有一定點(diǎn)B(－1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，若BP⊥PQ，則點(diǎn)Q橫坐標的取值范圍是 .
【解析】如圖，B(－1,0)，設P(xP，x2P－1)，Q(xQ，x2Q－1)，
由kBP?kPQ＝－1，得x2P－1xP＋1?x2Q－x2PxQ－xP＝－1.
所以xQ＝－xP－1xP－1＝－(xP－1)－1xP－1－1.
因為xP－1＋1xP－1≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3.
題型三 求參數的取值范圍及最值的綜合題
【例3】(2010浙江)已知m＞1，直線(xiàn)l：x－my－m22＝0，橢圓C：x2m2＋y2＝1，F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
(1)當直線(xiàn)l過(guò)右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
(2)設直線(xiàn)l與橢圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點(diǎn)O在以線(xiàn)段GH為直徑的圓內，求實(shí)數m的取值范圍.
【解析】(1)因為直線(xiàn)l：x－my－m22＝0經(jīng)過(guò)F2(m2－1，0)，
所以m2－1＝m22，解得m2＝2，
又因為m＞1，所以m＝2.
故直線(xiàn)l的方程為x－2y－1＝0.
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 消去x得2y2＋my＋m24－1＝0，
則由Δ＝m2－8(m24－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，
且有y1＋y2＝－m2，y1y2＝m28－12.
由于F1(－c,0)，F2(c,0)，故O為F1F2的中點(diǎn)，
由 ＝2 ， ＝2 ，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，
GH2＝(x1－x2)29＋(y1－y2)29.
設M是GH的中點(diǎn)，則M(x1＋x26，y1＋y26)，
由題意可知，2MO＜GH，即4[(x1＋x26)2＋(y1＋y26)2]＜(x1－x2)29＋(y1－y2)29，
即x1x2＋y1y2＜0.
而x1x2＋y1y2＝(my1＋m22)(my2＋m22)＋y1y2＝(m2＋1)(m28－12).
所以m28－12＜0，即m2＜4.
又因為m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2.
所以m的取值范圍是(1,2).
【點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎知識，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
【變式訓練3】若雙曲線(xiàn)x2－ay2＝1的右支上存在三點(diǎn)A、B、C使△ABC為正三角形，其中一個(gè)頂點(diǎn)A與雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)重合，則a的取值范圍為 .
【解析】設B(m，m2－1a)，則C(m，－m2－1a)(m＞1)，
又A(1,0)，由AB＝BC得(m－1)2＋m2－1a＝(2m2－1a)2，
所以a＝3m＋1m－1＝3(1＋2m－1)＞3，即a的取值范圍為(3，＋∞).
總結提高
1.求曲線(xiàn)的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設中的幾何條件，用“坐標法”將其轉化為尋求變量間的關(guān)系.這類(lèi)問(wèn)題除了考查學(xué)生對圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學(xué)思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類(lèi)問(wèn)題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).求曲線(xiàn)的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數法、待定系數法.
2.最值問(wèn)題的代數解法，是從動(dòng)態(tài)角度去研究解析幾何中的數學(xué)問(wèn)題的主要內容，其解法是設變量、建立目標函數、轉化為求函數的最值.其中，自變量的取值范圍由直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系(即判別式與0的關(guān)系)確定.
3.范圍問(wèn)題，主要是根據條件，建立含有參變量的函數關(guān)系式或不等式，然后確定參數的取值范圍.其解法主要有運用圓錐曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標的取值范圍，運用求函數的值域、最值以及二次方程實(shí)根的分布等知識.
高考核心考點(diǎn)：第24課時(shí) 極坐標、參數方程與幾何證明選講
第24課時(shí) 極坐標、參數方程與幾何證明選講
1．(2011年北京)在極坐標系中，圓＝－2s inθ的圓心的極坐標是( )
A.1，π2 B.1，－π2
C．(1,0) D．(1，π)
2．(2010年北京)極坐標方程(－1)(θ－π)＝0(≥0)表示的圖形是( )
A．兩個(gè)圓
B．兩條 直線(xiàn)
C．一個(gè)圓和一條射線(xiàn)
D． 一條直線(xiàn)和一條射線(xiàn)
3．(2011年江西)若曲線(xiàn)的極坐標方程為＝2sinθ＋4cosθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線(xiàn)的直角坐標方程為_(kāi)_________．
4．(2010年廣東)如圖7，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，點(diǎn)E、F分別為線(xiàn)段AB、AD的中點(diǎn)，則EF＝ __________.
圖7 圖8
5．(2010年 陜西)如圖8，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC、BC的長(cháng)分別為3 cm,4 cm，以AC為直徑的 圓與AB交于點(diǎn)D，則BD＝____________ cm.
6．( 2011年天津)已知拋物線(xiàn)C的參數方程為x＝8t2y＝8t(t為參數)．若斜率為1的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與圓x－42＋y2＝r2r>0相切，則r＝__________.
7．(2011年陜西)如圖9，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________.
圖9 圖10
8．(2011年湖南)在直角坐標系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數方程為x＝2cosαy＝3sinα(α為參數)．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長(cháng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，曲線(xiàn)C2的方程為(cosθ－sinθ)＋1＝0，則C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數為_(kāi)_______ .
9． (2011年陜西)直角坐標系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點(diǎn)A、B分別在曲線(xiàn)C1：x＝3＋cosθy＝4＋sinθ(θ為參數)和曲線(xiàn)C2：＝1上，則AB的最小值為_(kāi)_______________．
10 ．如圖10，已知 PA是圓O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，直線(xiàn)PO交圓 O于B、C兩點(diǎn)，AC＝2，∠PAB＝120°，則圓O的面積為_(kāi)_________．
11．在平面直角坐標系xOy中，以O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，取相同的長(cháng)度單位，建立極坐標系，則直線(xiàn)cosθ－π3＝2被圓x＝2＋2cosφy＝2sinφ(φ為參數)截得的弦長(cháng)為_(kāi)___________．
12．(2011年江蘇)如圖1 1，圓O1與圓O2內切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)，圓O1的 弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在A(yíng)B上)．則AB∶AC為定值＝__________.
圖11
高考數學(xué)第一輪導學(xué)案復習：指數函數
高三數學(xué)理科復習7----指數函數
【高考要求】指數函數（B）
【目標】理解有理數指數冪的含義；了解實(shí)數指數冪的意義,能進(jìn)行冪的運算.
理解指數函數的概念和意義；理解指數函數的性質(zhì),會(huì )畫(huà)指數函數的圖象.
了解指數函數模型的實(shí)際案例,會(huì )用指數函數模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
【重難點(diǎn)】指數函數的性質(zhì)及其應用
【知識復習與自學(xué)質(zhì)疑】
1、已知 ，則當 時(shí)， 為_(kāi)_____________（填寫(xiě)增函數或者減函數）；當 且 _____________時(shí)，
2、化簡(jiǎn)： ； ___
3、函數 的定義域為_(kāi)___________;值域為_(kāi)________________
4、函數 的單調遞減區間是_______，函數 的值域為_(kāi)____
【交流展示與互動(dòng)探究】
例1、(1)已知 ，求 的值；
�。�2）若 ，求 的值.
例2、比較下列各組值的大�。�
�。�1） ；（2） ；
�。�3） .
例3、已知函數 ， （1）求函數 的值域
�。�2）判斷函數的奇偶性（3）判斷函數的單調性
【矯正反饋】
1、計算： ______________
2、設函數 ），則函數恒過(guò)__ ____點(diǎn)；它的圖像關(guān)于直線(xiàn)___ _ 對稱(chēng).
3、設 ，則 的大小關(guān)系為_(kāi)___________________
4、若函數 的值域為 ，則 =___________________
5、若函數 的圖像經(jīng)過(guò)第二，三，四象限，則 __________, ___________
6、若 ，則函數 的值域為 .
7、方程 解的個(gè)數為_(kāi)_____,方程 的解的個(gè)數為_(kāi)_______
8、已知 ，則不等式 的解集為
【遷移應用】
9、已知函數 . (1)判斷 的奇偶性；
�。�2）若 是R上的增函數，求實(shí)數 的取值范圍.
10、定義在R上的奇函數 的最小正周期為2，且 時(shí)， ，
�。�1）求 在 上的解析式； （2）判斷 在 上的單調性；
�。�3）當 為何值時(shí)，方程 在 上有實(shí)數解.
高考數學(xué)知識梳理冪函數復習教案
教案28 冪函數
一、前檢測
1. 下列函數中不是冪函數的是（ Ｃ ）
�。粒� Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2. 下列函數在 上為減函數的是（ Ｂ ）
�。粒� Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3. 下列冪函數中定義域為 的是（ Ｄ ）
�。粒� Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、知識梳理
1．冪函數的概念：一般地，我們把形如 的函數稱(chēng)為冪函數，其中 是自變量， 是常數；
注意：冪函數與指數函數的區別．
解讀：
2.冪函數的性質(zhì)：
�。�1）冪函數的圖象都過(guò)點(diǎn) ；任何冪函數都不過(guò) 象限；
�。�2）當 時(shí)，冪函數在 上 ；當 時(shí)，冪函數在 上 ；
�。�3）當 時(shí)，冪函數是 ；當 時(shí)，冪函數是 ．
解讀：
三、典型例題分析
冪函數的意義
例1 已知函數 ，當 為何值時(shí)， ：
�。�1）是冪函數；（2）是冪函數，且是 上的增函數；（3）是正比例函數；（4）是反比例函數；（5）是二次函數；
答案：（1） 或 （2） （3） （4） （5）
變式訓練：已知函數 ，當 為何值時(shí)， 在第一象限內它的圖像是上升曲線(xiàn)。
簡(jiǎn)解： 解得：
小結與拓展：要牢記冪函數的定義，列出等式或不等式求解。
例2 比較大�。�
�。�1） （2） （3） （4）
解：（1）∵ 在 上是增函數， ，∴
�。�2）∵ 在 上是增函數， ，∴
�。�3）∵ 在 上是減函數， ，∴ ；
∵ 是增函數， ，∴ ；
綜上，
�。�4）∵ ， ， ，
變式訓練：將下列各組數用小于號從小到大排列：
�。�1） （2） （3）
解：（1）
�。�2）
�。�3）
小結與拓展：在解決比較大小的問(wèn)題時(shí)常用到冪函數圖像及性質(zhì)
例3 已知冪函數 （ ）的圖象與 軸、 軸都無(wú)交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，求 的值．
解：∵冪函數 （ ）的圖象與 軸、 軸都無(wú)交點(diǎn)，
∵ ，∴ ，又函數圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，
∴ 是奇數，∴ 或 ．
變式訓練：已知冪函數 的圖象關(guān)于 軸對稱(chēng)，且在 上的單調遞減，求滿(mǎn)足 的 得取值范圍。答案：
小結與拓展：根據題意和冪函數性質(zhì)確定 的值。
四、歸納與總結（以學(xué)生為主，師生共同完成）
1.知識：
2.思想與方法：
3.易錯點(diǎn)：
4.反思（不足并查漏）：
高考數學(xué)核心考點(diǎn)算法初步復習
第22時(shí) 算法初步
1．(2011年天津)閱讀圖11的程序框圖，運行相應的程序，則輸出i的值為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
圖11 圖12
2．(2011年全 國)執行圖12的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是( )
A．120 B．720 C．1 440 D．5 040
3．執行如圖 13的程序框圖，則輸出的n＝( )
A ．6 B．5 C．8 D．7
圖13 圖14
4．(2011年湖南)若執行如圖 14所示的框圖，輸入x1＝1，x2＝2，x3＝3，x－＝2，則輸出的數等于________．
5．(2011年浙江)若某程序圖如圖15所示，則該程序運行后輸出的k值為_(kāi)_______．
圖15 圖16
6．(2011年淮南模擬) 某程序框圖如圖16所示，現輸入如下四個(gè)函數，則可以輸出的函數是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝ 1x
C．f(x)＝ex D．f(x)＝s inx
7．運行如下程序：當輸入168,72時(shí)，輸出的結果是( )
INPUT m，n
DO
r＝m OD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL r＝0
PR I NT m
END
A ．168 B．72 C．36 D．24
8．在圖17程序框圖中，輸入f1(x)＝xex，則輸出的函數表達式是________________．
圖17
9．(2011年安徽合肥模 擬)如圖18所示，輸出的為( )
A．10 B．11 C．12 D．13
圖18 圖19
10．(2011年廣 東珠海模擬)閱讀圖19的算法框圖，輸出結果的值為( )
A．1 B.3 C.12 D.32