中考方程應用題與答案
【前言】在中考中，有一類(lèi)題目說(shuō)難不難，說(shuō)不難又難，有的時(shí)候三兩下就有了思路，有的時(shí)候苦思冥想很久也沒(méi)有想法，這就是列方程或方程組解應用題。方程可以說(shuō)是初中數學(xué)當中最重要的部分，所以也是中考中必考內容。從近年來(lái)的中考來(lái)看，結合時(shí)事熱點(diǎn)考的比較多，所以還需要考生有一些生活經(jīng)驗。實(shí)際考試中，這類(lèi)題目幾乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么幾種題型，所以考生只需多練多掌握各個(gè)題類(lèi)，總結出一些定式，就可以從容應對了。
第一部分 真題精講
【例1】家電下鄉農民得實(shí)惠，根據家電下鄉的有關(guān)政策：農戶(hù)每購買(mǎi)一件家電，國家將按每件家電售價(jià)的 補貼給農戶(hù)，小明的爺爺2009年5月份購買(mǎi)了一臺彩電和一臺洗衣機，他從鄉政府領(lǐng)到了390元被貼款，若彩電的售價(jià)比洗衣機的售價(jià)高1000元，問(wèn)一臺彩電和一臺洗衣機的售價(jià)各是多少元?
【思路分析】首先仔細看題，明確說(shuō)明彩電售價(jià)比洗衣機售價(jià)高1000，那么一方面可以設一個(gè)未知數彩電為x，那么洗衣機自然就可以用x-1000表示，另一方面也可以直接設兩個(gè)未知數彩電x和洗衣機y，利用高1000的條件制造等量關(guān)系。其次說(shuō)補貼是售價(jià)的13%，而又明確給出小明的爺爺領(lǐng)到了390元，所以這390元就是售價(jià)的補貼。于是建立方程13%(x+x-1000)=390或者方程組 。這一題要把握的就是兩個(gè)等量關(guān)系，一個(gè)是售價(jià)差等于1000，另一個(gè)是售價(jià)的13%等于補貼。于是可以得出答案。
【解析】(列方程組解)
解：設一臺彩電的售價(jià)為 元，一臺洗衣機的售價(jià)為 元.
根據題意得：
解得
答：一臺彩電售價(jià)2000元，一臺洗衣機售價(jià)1000元.
【例2】某采摘農場(chǎng)計劃種植 兩種草莓共6畝，根據表格信息，解答下列問(wèn)題：
項目 品種 A B
年畝產(chǎn)(單位：千克) 1200 2000
采摘價(jià)格(單位：元/千克) 60 40
(1)若該農場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入為 元，那么 兩種草莓各種多少畝?
(2)若要求種植 種草莓的畝數不少于種植 種草莓的一半，那么種植 種草莓多少畝時(shí)，可使該農場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入最多?
【思路分析】本題依然是通過(guò)方程表達總量去解決�？偸杖刖褪茿的畝產(chǎn)乘以?xún)r(jià)格加上B的畝產(chǎn)乘以?xún)r(jià)格，列出方程即可。至于第二問(wèn)則是先根據種植 種草莓的畝數不少于種植 種草莓的一半列出不等式，求出A種草莓的范圍，然后列出函數式來(lái)看在范圍內總收入最大值是多少。
【解析】
解：設該農場(chǎng)種植 種草莓 畝， 種草莓 畝
依題意，得： 2分
解得： ，
(2)由 ，解得
設農場(chǎng)每年草莓全部被采摘的收入為y元，則：
當 時(shí)， 有最大值為464000
答：(l) 種草莓種植2.5畝, 種草莓種植3.5畝.
(2)若種植 種草莓的畝數不少于種植 種草莓的一半，那么種植 種草莓2畝時(shí)，可使農場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入最多.
【例3】2009年12月聯(lián)合國氣候會(huì )議在哥本哈根召開(kāi).從某地到哥本哈根，若乘飛機需要3小時(shí)，若乘汽車(chē)需要9小時(shí).這兩種交通工具平均每小時(shí)二氧化碳的排放量之和為70千克，飛機全程二氧化碳的排放總量比汽車(chē)的多54千克，分別求飛機和汽車(chē)平均每小時(shí)二氧化碳的排放量.
【思路分析】本題比較簡(jiǎn)單，但是涉及了時(shí)事熱點(diǎn)，看似復雜，實(shí)際一分析就發(fā)現等量非常好找。一個(gè)是單獨排放量之和等于70，另一個(gè)是排放總量之差等于54.于是可以列方程組求解。
【解析】
解：設乘飛機和坐汽車(chē)每小時(shí)的二氧化碳排放量分別是x千克和y千克.
依題意，得
解得
答: 飛機和汽車(chē)每小時(shí)的二氧化碳排放量分別是57千克和13千克
【例4】某中學(xué)擬組織九年級師生外出.下面是年級組長(cháng)李老師和小芳同學(xué)有關(guān)租車(chē)問(wèn)題的對話(huà)：
李老師：客運公司有60座和45座兩種型號的客車(chē)可供租用，60座客車(chē)每輛每天的租金比45座客車(chē)每輛每天的租金多200元.
小芳：我們學(xué)校八年級師生昨天在這個(gè)客運公司租了4輛60座和2輛45座的客車(chē)外出參觀(guān)，一天的租金共計5000元.
根據以上對話(huà)，求客運公司60座和45座的客車(chē)每輛每天的租金分別是多少元?
【思路分析】本題兩句話(huà)就是兩個(gè)等式，第一句話(huà)的等式兩邊就是租金的差價(jià)，第二句話(huà)的兩邊是總租金的和。本題雖然也比較簡(jiǎn)單，但是隨時(shí)可能有變化的空間。例如說(shuō)八年級師生一共有xx人，問(wèn)怎樣租車(chē)最經(jīng)濟。那么依然是做一個(gè)函數然后看函數的最小值。這種思路中考中也會(huì )比較容易考到，大家可以多發(fā)散思考一下。
【解析】
解：設客運公司60座和45座客車(chē)每天每輛的租金分別為 元和 元.
由題意，列方程組
解之得
答：客運公司60座和45座的客車(chē)每輛每天的租金分別是900元和700元
【例5】《喜羊羊與灰太狼》是一部中、小學(xué)生都喜歡看的動(dòng)畫(huà)片，某企業(yè)獲得了羊公仔和狼公仔的生產(chǎn)專(zhuān)利.該企業(yè)每天生產(chǎn)兩種公仔共450只，兩種公仔的成本和售價(jià)如下表所示.如果設每天生產(chǎn)羊公仔x只，每天共獲利y元.
(1)求出y與x之間的函數關(guān)系及自變量x的取值范圍;
(2)如果該企業(yè)每天投入的成本不超過(guò)10000元，那么要每天獲利最多，應生產(chǎn)羊公仔和狼公仔各多少只?
類(lèi)別 成本(元/只) 售價(jià)(元/只)
羊公仔 20 23
狼公仔 30 35
【思路分析】本題是剛剛火熱出爐的`二模題，結合了社會(huì )的熱點(diǎn)動(dòng)畫(huà)片來(lái)設立問(wèn)題。雖然是應用題，但是卻涉及了函數的思想，造成了一定的困擾。分析本題首先需要清楚獲利這個(gè)概念，就是售價(jià)減成本再乘以數量。其中，每天生產(chǎn)的數量是定值450，所以狼公仔就要用羊公仔數去表示，然后合理列出函數表達式。第二問(wèn)夾雜進(jìn)了不等式，需要判斷出x的范圍上限和下限分別代表什麼意思，尤其是明白一次函數的單調性。
【解析】
解：(1)根據題意，得 =(23-20) +(35-30)(450- )，
即 =-2 +2250.
自變量x的取值范圍是0450且x為整數.
(2)由題意，得20 +30(450- )10000.
解得 350.
由(1)得350450.
∵ 隨 的增大而減小，
當 =350時(shí)， 值最大.
最大=-2350+2250=1550.
450-350=100.
答：要每天獲利最多，企業(yè)應每天生產(chǎn)羊公仔350只，狼公仔100只.
【總結】列方程解應用題作為必考內容，難度一般都不會(huì )很大。但是這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是冗余信息多，干擾思考。例如動(dòng)輒來(lái)個(gè)知識背景介紹，或者模擬情景對話(huà)，簡(jiǎn)單說(shuō)就是廢話(huà)非常多。所以作為考生來(lái)說(shuō)，碰到此類(lèi)問(wèn)題，第一步就是要從廢話(huà)中提取有用信息，然后設元，將廢話(huà)轉化為數學(xué)元素。第二步就是提取題目中的等量信息。一般來(lái)講，等量信息無(wú)非分兩種，一個(gè)是個(gè)體的關(guān)系，如例5中的狼羊公仔數量和，以及不同客車(chē)的租金差;另一部分就是總體的關(guān)系，例如總收入，總支出之類(lèi)的。順風(fēng)逆風(fēng)問(wèn)題似乎近年來(lái)很少考到，大多是和錢(qián)有關(guān)的事情(笑)。所以需要考生關(guān)注總和比少比的幾倍多這種字眼，分析出等量關(guān)系去列出方程。具體操作來(lái)看，筆者比較傾向于非函數問(wèn)題列二元方程去算，例如例1的解法，這樣的好處是比較直觀(guān)，在較為復雜的等式中如果一直用某個(gè)未知數的關(guān)系去表示另一個(gè)未知數容易造成等式過(guò)于冗長(cháng)，容易出錯。
第二部分 發(fā)散思考
【思考1】改革開(kāi)放30年來(lái)，我國的文化事業(yè)得到了長(cháng)足發(fā)展，以公共圖書(shū)館和博物館為例，1978年全國兩館共約有1550個(gè)，至2008年已發(fā)展到約4650個(gè). 2008年公共圖書(shū)館的數量比1978年公共圖書(shū)館數量的2倍還多350個(gè)，博物館的數量是1978年博物館數量的5倍. 2008年全國公共圖書(shū)館和博物館各有多少個(gè)?
【思路分析】本題看起來(lái)數字很多，什么1978，1550，4650，2008等等等等，但是年份都是多余的信息。仔細分析有用信息就是兩館和，兩館分別的增長(cháng)量。于是設78年的兩館數量求解。但是注意的是最后題目問(wèn)的是2008年的數量，所以不要忘記算一下再作答。
【思考2】將進(jìn)價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，能賣(mài)出500個(gè)，經(jīng)市場(chǎng)調查得知，該商品每漲價(jià)1元，其銷(xiāo)售量就減少10個(gè)，為了賺取8000元的利潤，售價(jià)應定為多少元?
【思路分析】本題也是和錢(qián)有關(guān)的題目，但是列出來(lái)的方程式一個(gè)一元二次方程，所以需要仔細對每漲價(jià)1，銷(xiāo)售量減10這個(gè)關(guān)系進(jìn)行分析。所以直接設漲價(jià)為x最為合適，利用8000元的總利潤列出方程求解即可。
【思考3】北京市實(shí)施交通管理新措施以來(lái)，全市公共交通客運量顯著(zhù)增加.據統計，2008年10月11日到2009年2月28日期間，地面公交日均客運量與軌道交通日均客運量總和為1696萬(wàn)人次，地面公交日均客運量比軌道交通日均客運量的4倍少69萬(wàn)人次.在此期間，地面
公交和軌道交通日均客運量各為多少萬(wàn)人次?
【思路分析】中考原題，正如在上面總結中所說(shuō)，這類(lèi)問(wèn)題一定要關(guān)注總和，比xxx幾倍少/多這種字眼。本題來(lái)說(shuō)既然求各為多少萬(wàn)人次，直接設兩個(gè)元。然后利用一次總和，利用一次倍差關(guān)系，輕松列出兩個(gè)方程構成方程組求解。
【思考4】某運輸公司用10輛相同的汽車(chē)將一批蘋(píng)果運到外地，每輛汽車(chē)能裝8噸甲種蘋(píng)果，或10噸乙種蘋(píng)果，或11噸丙種蘋(píng)果.公司規定每輛車(chē)只能裝同一種蘋(píng)果，而且必須滿(mǎn)載.已知公司運送了甲、乙、丙三種蘋(píng)果共100噸，且每種蘋(píng)果不少于一車(chē).
(1)設用x輛車(chē)裝甲種蘋(píng)果，y輛車(chē)裝乙種蘋(píng)果，求y與x之間的函數關(guān)系式，并寫(xiě)
出自變量x的取值范圍;
(2)若運送三種蘋(píng)果所獲利潤的情況如下表所示：
蘋(píng)果品種 甲 乙 丙
每噸蘋(píng)果所獲利潤(萬(wàn)元) 0.22 0.21 0.2
設此次運輸的利潤為W(萬(wàn)元)，問(wèn)：如何安排車(chē)輛分配方案才能使運輸利潤W
最大，并求出最大利潤.
【思路分析】本題雖然是設函數的問(wèn)題，但是利用共100噸這個(gè)關(guān)系列出包含x,y的函數即可。第二問(wèn)則是在第一問(wèn)的基礎上繼續建立函數，化簡(jiǎn)后利用第一問(wèn)的自變量范圍求最小值。細心把握題中信息就可以了。
第三部分 思考題解析
【思考1解析】
解：設1978年全國有公共圖書(shū)館x個(gè)，博物館y個(gè)
由題意，得
解得 (有些同學(xué)沒(méi)看清問(wèn)題就直接寫(xiě)這個(gè)上去了，丟分很可惜)
則 ， .
答：2008年全國有公共圖書(shū)館2650個(gè)，博物館2000個(gè).
【思考2解析】
解：設漲價(jià)x元，則售價(jià)為(50+x)元.
依題意，列方程，得
(50+x-40)(500-10x)=8000.
整理，得
x2-40x+300=0，
解得
x1=10，x2=30.
答：售價(jià)應定為60或80元.
【思考3解析】
設軌道交通日均客運量為 萬(wàn)人次，地面公交日均客運量為 萬(wàn)人次.
依題意，得
解得
答：軌道交通日均客運量為353萬(wàn)人次，地面公交日均客運量為1 343萬(wàn)人次.
【思考4解析】
(1)∵ ，
y與x之間的函數關(guān)系式為 .
∵ y1，解得x3.
∵ x1， 1，且x是正整數，
自變量x的取值范圍是x =1或x =2或x =3.
(2) .
因為W隨x的增大而減小，所以x取1時(shí)，可獲得最大利潤，
此時(shí) (萬(wàn)元).
獲得最大運輸利潤的方案為：用1輛車(chē)裝甲種蘋(píng)果，用7輛車(chē)裝乙種蘋(píng)果，2輛車(chē)裝丙種蘋(píng)果.
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