第一冊已知三角函數值求角教學(xué)設計
【教學(xué)課題】: 已知三角函數值求角
【教學(xué)目標】: 了解反三角函數的定義，掌握用反三角函數值表示給定區間上的角
【教學(xué)重點(diǎn)】: 掌握用反三角函數值表示給定區間上的角
【教學(xué)難點(diǎn)】: 反三角函數的定義
【教學(xué)過(guò)程】:
一． 問(wèn)題的提出：
在我們的學(xué)習中常遇到知三角函數值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（ ），我們如何表示 呢？相當于 中如何用 來(lái)表示 ，這是一個(gè)反解 的過(guò)程，由此想到求反函數，第一冊已知三角函數值求角。但三角函數由于有周期性，它們不存在反函數，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個(gè)區間滿(mǎn)足：
�。�1）包含銳角；（2）具有單調性；（3）能取得三角函數值域上的所有值。
顯然對 ，這樣的區間是 ；對 ，這樣的區間是 ；對 ，這樣的區間是 ；
二．新課的引入：
1．反正弦定義：
反正弦函數：函數 ， 的反函數叫做反正弦函數，記作： .
對于 注意：
�。�1） （相當于原來(lái)函數的值域）；
�。�2） （相當于原來(lái)函數的定義域）；
�。�3） ；
即： 相當于 內的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為 。
反正弦：符合條件 （ ）的角 ，叫做實(shí)數 的反正弦，記作： 。其中 ， 。
例如： ， ， ，
由此可見(jiàn)：書(shū)上的反正弦與反正弦函數是一致的，當然理解了反正弦函數，能使大家更加系統地掌握這部分知識。
�。玻从嘞叶x：
反余弦函數：函數 ， 的.反函數叫做反余弦函數，記作： .
對于 注意：
�。�1） （相當于原來(lái)函數的值域）；
�。�2） （相當于原來(lái)函數的定義域）；
�。�3） ；
即： 相當于 內的一個(gè)角，這個(gè)角的余弦值為 。
反余弦：符合條件 （ ）的角 ，叫做實(shí)數 的反正弦，記作： 。其中 ， 。
例如： ， ，由于 ，故 為負值時(shí)， 表示的是鈍角。
�。常凑卸x：
反正切函數：函數 ， 的反函數叫做反正弦函數，記作： .
對于 注意：
�。�1） （相當于原來(lái)函數的值域）；
�。�2） （相當于原來(lái)函數的定義域）；
�。�3） ；
即： 相當于 內的一個(gè)角，這個(gè)角的正切值為 。
反正切：符合條件 （ ）的角 ，叫做實(shí)數 的反正切，記作： 。其中 ， 。
例如： ， ， ，
對于反三角函數，大家切記：它們不是三角函數的反函數，需要對定義域加以改進(jìn)后才能出現反函數，高中數學(xué)教案《第一冊已知三角函數值求角》。反三角函數的性質(zhì)，有興趣的同學(xué)可根據互為反函數的函數的圖象關(guān)于 對稱(chēng)這一特性，得到反三角函數的性質(zhì)。根據新教材的要求，這里就不再講了。
練習：
三．課堂練習：
例1．請說(shuō)明下列各式的含義：
(1) ； (2) ； (3） ； (4) 。
解：（1） 表示 之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為 ，這個(gè)角是 ；
�。�2） 表示 之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為 ，這個(gè)角不存在，即 的寫(xiě)法沒(méi)有意義，與 ， 矛盾；
�。�3） 表示 之間的一個(gè)角，這個(gè)角的余弦值為 ，這個(gè)角是 ；
�。�4） 表示 之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正切值為 。這個(gè)角是一個(gè)銳角。
例2.比較大�。海�1） 與 ；（2） 與 。
解：（1）設： ， ； ， ，
則 ， ，
∵ 在 上是增函數， ，
∴ ，即 。
�。�2） 中 小于零， 表示負銳角，
中 雖然小于零，但 表示鈍角。
即： 。
例3．已知： ， ，求： 的值。
解： 正弦值為 的角只有一個(gè)，即： ，
在 中正弦值為 的角還有一個(gè)，為鈍角，即： ，
所求 的集合為： 。
注意：如果題目沒(méi)有特別說(shuō)明，結果應為準確值，而不應是近似值，書(shū)上均為近似值。
例4．已知： ， ，求： 的值。
解： 余弦值為 的角只有一個(gè)，即： ，
在 中余弦值為 的角還有一個(gè)，為第三象限角，即： ，
所求 的集合為： 。
例5．求證： （ ）。
證明：∵ ，∴ ，設 ， ，
則 ，即： ，即： ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，即： 。
例6．求證： （ ）。
證明：∵ ，∴ ，設 ， ，
則 ，即： ，即： （*），
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，即： 。
注意：（*）中不能用 來(lái)替換 ，雖然符號相同，但 ，不能用反余弦表示 。
四．課后作業(yè)。
書(shū)上：P76.練習,P77. 習題4.11。（均要準確值，劃掉書(shū)上的精確到）
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