高一數學(xué)的教學(xué)計劃
一、內容和內容解析
內容：解析幾何介紹，直線(xiàn)的傾斜角和斜率。
本課是解析幾何第一課時(shí)。萬(wàn)事開(kāi)頭難，好的開(kāi)始是成功的一半，解析幾何的基本思想和方法都應當得到適當的體現，因此教
學(xué)內容不僅有傾斜角、斜率的概念，還應當包含坐標法、數形結合思想、解析幾何發(fā)展史等。
直線(xiàn)的傾斜角和斜率都描述了直線(xiàn)的傾斜程度，傾斜角用幾何位置關(guān)系刻畫(huà)，斜率從數量關(guān)系刻畫(huà)，二者的聯(lián)系橋梁是正切函數
值，并且可以用直線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)的坐標表示。建立斜率公式的過(guò)程，體現了坐標法的基本思想：把幾何問(wèn)題代數化，通過(guò)代數運算研究幾何圖形的性質(zhì)。
本課涉及兩個(gè)概念傾斜角和斜率。傾斜角是幾何概念，它主要起過(guò)渡作用，是聯(lián)系新舊知識的紐帶，研究斜率、直線(xiàn)的平行、
垂直的解析表示等問(wèn)題時(shí)都要用這個(gè)概念;斜率概念，不僅其建立過(guò)程很好地體現了解析法，而且它在建立直線(xiàn)方程、通過(guò)直線(xiàn)方程研究幾何問(wèn)題時(shí)也起核心作用，這是因為在直角坐標系下，確定直線(xiàn)的條件最本質(zhì)條件是直線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)及其斜率，其他形式都可以化歸到這兩個(gè)條件上來(lái)。
綜上，從解析幾何的基本方法坐標法的基本思想考慮，斜率概念是本課時(shí)的核心概念。 本課的教學(xué)重點(diǎn)是：
使學(xué)生經(jīng)歷幾何問(wèn)題代數化的過(guò)程，初步了解解析幾何研究問(wèn)題的基本思想方法，體會(huì )坐標法;理解斜率的定義，掌握過(guò)兩點(diǎn)的
直線(xiàn)的斜率公式。
二、目標和目標解析
1.理解傾斜角的概念，體會(huì )在直角坐標系下，以坐標軸為參照系，用統一的標準刻畫(huà)幾何元素的思想方法。 2.理解斜率的定義和斜率公式，經(jīng)歷幾何問(wèn)題代數化的過(guò)程，了解解析法的基本步驟，感受解析幾何的思想方法。 3.通過(guò)解析幾何發(fā)展史的簡(jiǎn)單介紹，滲透數學(xué)文化教育。 三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
平面幾何中，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)是沒(méi)有參照系的，如何使學(xué)生在這一知識的基礎上，順利、自然地過(guò)渡到直角坐標系下用一個(gè)
點(diǎn)和傾斜角確定一條直線(xiàn)，是比較困難的。事實(shí)上，已知直線(xiàn)的傾斜角就相當于已知直線(xiàn)的方向，因此已知兩個(gè)點(diǎn)可以確定直線(xiàn)的方向，這與一個(gè)點(diǎn)和直線(xiàn)的方向確定一條直線(xiàn)是一致的。在教學(xué)中應注意引導學(xué)生建立這種聯(lián)系。
由于學(xué)生還沒(méi)有系統學(xué)習三角函數，所以要求學(xué)生利用補充的公式對傾斜角和斜率的關(guān)系進(jìn)行研究，并猜想出一般的結論，是比
較困難的。
函數是以圖助數，利用圖形使代數問(wèn)題直觀(guān)化，解析幾何則是以數助形，用坐標法研究幾何問(wèn)題。它們都體現了數形結合思想，
但角度不同。學(xué)生知道一次函數的圖象是一條直線(xiàn)，這里研究的是直線(xiàn)的方程，學(xué)生容易將二者混淆，誤認為方程就是一次函數。因此在教學(xué)時(shí)要注意澄清二者的不同。
基于上述分析，確定本課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn)：
直角坐標系下刻畫(huà)直線(xiàn)的幾何要素的認識傾斜角概念的形成;用坐標刻畫(huà)傾斜角的方法斜率概念本質(zhì)的認識。 四.教學(xué)支持條件分析
可以借用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示坐標系下確定直線(xiàn)的幾何要素，傾斜角的變化與斜率變化之間的關(guān)系等。借助實(shí)物展臺展示學(xué)生的研
究方法和計算過(guò)程。
五.教學(xué)過(guò)程設計
(一)引言
在平面幾何里，我們直接依據圖形中點(diǎn)、線(xiàn)、面的關(guān)系，研究圖形的性質(zhì)�，F在我們采用另一種研究方法：坐標法。坐標法是在
坐標系的基礎上，把幾何問(wèn)題轉化為代數問(wèn)題，通過(guò)代數運算研究幾何圖形性質(zhì)的一種方法。
本章首先在平面直角坐標系中，給直線(xiàn)插上方程的翅膀，通過(guò)直線(xiàn)方程研究直線(xiàn)之間的位置關(guān)系：平行、垂直，以及兩條直線(xiàn)
的交點(diǎn)坐標，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等。
解析幾何是17世紀法國數學(xué)家笛卡爾和費馬共同創(chuàng )立的。解析幾何的創(chuàng )立是數學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)重要的里程碑，數學(xué)從此由常
量數學(xué)進(jìn)入變量數學(xué)時(shí)期。解析幾何由此成為近代數學(xué)的基礎之一。
本課時(shí)我們將研究最基礎的知識直線(xiàn)的傾斜角和斜率，并在其學(xué)習過(guò)程中體會(huì )和感受解析幾何研究問(wèn)題的基本方法和思想。 (設計意圖：使學(xué)生了解學(xué)習的新內容的特點(diǎn)及意義。) (二)傾斜角概念的形成
問(wèn)題1 平面幾何中，確定直線(xiàn)的條件是什么?對于平面直角坐標系內的一條直線(xiàn)l，它的位置由哪些條件確定呢? (設計意圖：引導學(xué)生復習初中學(xué)過(guò)的相關(guān)知識，尋找本課時(shí)學(xué)習內容的固著(zhù)點(diǎn)、生長(cháng)點(diǎn)。) 預設的回答：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)。
啟發(fā)引導：還有沒(méi)有別的方法?能否利用給定的.直角坐標系? 在學(xué)生一定時(shí)間的思考后提出
問(wèn)題2在直角坐標系內任給一個(gè)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)的直線(xiàn)有無(wú)數條。再給一個(gè)什么條件就可以唯一確定一條直線(xiàn)呢?請動(dòng)手操作一下。 預設的回答：可能會(huì )有與x軸的交角與y軸的交角等。
啟發(fā)性講解：(借助于信息技術(shù)演示)可以發(fā)現，過(guò)一個(gè)點(diǎn)的直線(xiàn)有無(wú)數條，再借助坐標軸，給定直線(xiàn)與坐標軸的交角，那么直
線(xiàn)就唯一確定了。一般的，我們以水平線(xiàn)x軸為基準，這也符合我們日常表示物體傾斜程度的習慣。因此我們約定圖1中的角表示直線(xiàn)的傾斜程度，把它叫做直線(xiàn)的傾斜角。
由教師給出直線(xiàn)的傾斜角的定義，指出傾斜角的意義：
當直線(xiàn)l與x軸相交時(shí)，我們取x軸作為基準，x軸正向與直線(xiàn)l向上方向之間所成的角叫做直線(xiàn)l的傾斜角
(angle of inclination).圖2中直線(xiàn)l的傾斜角為銳角，直線(xiàn)l的傾斜角為鈍角。當直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí)，我們規定它的傾斜角為0o。
(這個(gè)定義可否這樣給出：當直線(xiàn)l與x軸相交時(shí)，我們取x軸作為基準，x軸正向與直線(xiàn)l向上方向之間所成的最小正(這三個(gè)字是否添加要看必修教材教學(xué)的順序，如果是12345的順序，就不需要添加正字，如果是14523的順序，則需要添加)角叫做直線(xiàn)l的傾斜角(angle of inclination).當直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí)，我們規定它的傾斜角為0o，因此直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為0o180o.(這
樣做的原因是，定義簡(jiǎn)潔，自明，惟一，可以根據定義進(jìn)行判斷，而不需要用圖形對定義進(jìn)行補充說(shuō)明。) 追問(wèn)：由定義，傾斜角的范圍是什么?
(設計意圖：在定義的形成過(guò)程中主要上針對個(gè)別條直線(xiàn)，研究的重點(diǎn)是定義的形成，通過(guò)這個(gè)問(wèn)題引導學(xué)生研究所有直線(xiàn)與其
傾斜角的關(guān)系，將定義具體化，全面化，同時(shí)得到傾斜角的意義。)
預設的答案：傾斜角的取值范圍為0o180o。
傾斜角的意義：平面內每一條直線(xiàn)都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線(xiàn)，其傾斜角相等;傾斜程度不同的直線(xiàn)，其傾
斜角步等。因此，直線(xiàn)的傾斜角表示平面內一條直線(xiàn)的傾斜程度。
(三)斜率概念的形成
問(wèn)題3 日常生活中我們經(jīng)常遇到上坡下坡之類(lèi)的問(wèn)題，你知道哪些表示傾斜程度的量嗎?這些量與傾斜角有關(guān)系嗎? (設計意圖：了解學(xué)生的知識經(jīng)驗，并引導學(xué)生建立坡度與傾斜角的關(guān)系。)
(活動(dòng)方式：先由學(xué)生在回憶的基礎上做答，教師收集整理，挑選其中合理的成份。之后再在學(xué)生回答的基礎上引導學(xué)生建立這
個(gè)量與傾斜角之間的關(guān)系。)
預設的復習答案：可以用坡度表示斜坡的傾斜程度，如圖3，有坡度(比)=。
(此處可舉具體的數字進(jìn)行解釋或復習)
坡度與傾斜角的關(guān)系預設的答案：如圖3所示是斜坡的主視圖，可見(jiàn)，斜坡可以抽象為一條直線(xiàn)，它關(guān)于水平面的傾斜角記為，
那么這里的坡度(比)實(shí)際就是傾斜角的正切值。
小結講授：把一條直線(xiàn)的傾斜角的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率(slope)。斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k=tan。
問(wèn)題4 如圖2，直線(xiàn)l的傾斜角=45 o，直線(xiàn)l的傾斜角=135 o，寫(xiě)出兩條直線(xiàn)的斜率。再選取一些數據如傾斜角為：30 o，
150 o，60 o，120 o等，計算相應直線(xiàn)的斜率。并分析直線(xiàn)的傾斜角不同時(shí)，直線(xiàn)的斜率取值是否也不同，在此基礎上總結斜率的意義。
(提示：當為銳角時(shí)，tan(180 o-)=-tan。)
(設計意圖：引導學(xué)生通過(guò)有代表性的具體實(shí)例的分析，利用提示中的知識，結合初中學(xué)過(guò)的正切值，了解斜率取值的特點(diǎn)，
滲透分類(lèi)討論點(diǎn)思想總結出斜率的意義。此處也可以多增加一些角，用計算器計算)
(活動(dòng)方式：由學(xué)生獨立完成，教師在方法上予以指導分類(lèi)討論法，并類(lèi)比傾斜角的意義思考概括。) 計算過(guò)程：表1： 傾斜角 30 o 45 o 60 o 135 o 120 o 150 o 斜率
預設的答案：傾斜角是90 o的直線(xiàn)沒(méi)有斜率;傾斜角不是90 o的直線(xiàn)都有斜率;傾斜角不同，直線(xiàn)的斜率也不同。斜率大
于0的直線(xiàn)的傾斜角為銳角，并且斜率越大傾斜角越大;斜率小于0的直線(xiàn)的傾斜角為鈍角，并且斜率越小傾斜角越大。(此處可以結合具體計算過(guò)程得到的表1進(jìn)行理解。)
因此，我們可以用斜率表示直線(xiàn)的傾斜程度。 (四)直線(xiàn)斜率的坐標計算法
問(wèn)題5：確定直線(xiàn)的兩個(gè)條件點(diǎn)和傾斜角(或斜率)中的點(diǎn)可以用坐標表示，傾斜角已經(jīng)代數化為斜率。在引言中已經(jīng)談到，
解析幾何的基本方法就是坐標法，因此要利用傾斜角和斜率對直線(xiàn)進(jìn)行進(jìn)一步的代數化的研究必須建立斜率的坐標表示方法。根據斜率定義的過(guò)程，你能否將坡度進(jìn)一步坐標化，在此基礎上求出斜率的坐標表示?
(設計意圖：逐步實(shí)踐坐標法。)
(活動(dòng)方式：先由學(xué)生初步坐標化，教師引導分類(lèi)求解。) 活動(dòng)過(guò)程：
原問(wèn)題轉化為：給定兩點(diǎn)P1(x1,y1), P2(x2, y2)(其中x1x2)的坐標，求出直線(xiàn)P1 P2的斜率k。
分析：解決這個(gè)問(wèn)題需要分類(lèi)求解，首先是對于特殊直線(xiàn)，與x軸垂直或平行(重合)的直線(xiàn)進(jìn)行分析求解。對于其他直線(xiàn)分類(lèi)
的依據是兩點(diǎn)在直線(xiàn)上位置以及直線(xiàn)的傾斜角是銳角還是鈍角。所以二級分類(lèi)共得到四種不同的情況，如圖4所示。分類(lèi)求解。
解決的具體思路是：先就圖4(1)求解，再變式為圖4(2)，比較異同求解;之后就圖4(3)求解，再變式為圖4(4)，類(lèi)
比求解。
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